LIVRE DEUXIÈME

, 4hctle à retenir. La démonstration que nous venons d'en donner est due à De G ua, qui l'a publiée dans les Mémoires de V Académie des Sciences (année 1^85). Lagrange et d'autres géomètres célébre$ l'ont depuis adoptée dans leurs Traités de Trigonométrie : on en verra une nouvelle dans le livre IV, au chapitre des parallaxes.

Une simple permutation de lettres fournit deux autres équations toutes pareilles^ ainsi on a

cos a = cos b C05 c + sin i sin c cos ^

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B } (ol).

cos cs= cos a cos 6+ sin d sin b cos C

Il ne s'agit plus que de combiner convenablement ces trois équations, pour parvenir aux relations qui offrent le moyen de résoudre tous les cas possibles des triangles aphériques.

55. Si de la première équation l'on tire la valeur de cos A y et qu'on l'introduise dans la relation sin' ^ s=: 1 '— - cos* ^, on aura

• « ^ cod^a-4"fl||^&cos*c— acosacos &CO8C Sin* -^ =s 1 ~- ~^^. — r , » , , ;

réduisant les termes du second membre au même dénominateur, multipliant haut et bas par sin' a et extrayant la racine, on obtiendra

^ . 1/ (i — CO8* a — cos* b — cos* c + a cos a cos b 00s c)

sm -^=sm a. — ^ : ^-r": r^i

sm auiao sin c

désignant par M toute la fraction qui multiplie sin a, on pourra écrire plus simplement

sin^ = Jfsiua;

et puisque M est une fonction symétrique ou invariable, quel que soit l'angle dont on cherche le sinus, il est évident que l'on aura pareillement

sin iî = ilf sin b,

sin C=:; Jisin c:

de là

sin ^ : sin i? : sin C :: sin a : sin b : sin Cj ou bien

sin ^^^^ sin a slnA sin a sîn^ sin & •in i^""" sin A* sin C"" sine* sin C"" sine*

«o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

ainsi les sinus des angles (Vun triangle sphérique sont propor* tionnels au sinus des côtés gui leur sont opposés. C'est ea cela que consiste la proportion dite des quatre sinus.

Mais pour procéder du simple au compose , examinons d'abord les propriétés des triangles sphcriques rectangles, quoique celles-ci lie soient que des cas particuliers des propriétés des triangles sphériques quelconques.

Formules pour la résolution des triangles spkériques rectangles.

56. Lorsque Tangle ^ est droit, le côté opposé a se nomme TAypoténuse, et les relations (a) deviennent

cos a = cos h cos c |

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B > {a!). cos c = cos a cos J + sin a sin h cos C J

Il suit de la première relation que dans tout triangle sphérique rectangle, le cosinus de Fhyp^nuse est égal au produit des cosinus des côtés qui comprennmt V angle droit

Eliminant cos a des deux dernières, on trouve

cos &=cos h cos*c+sin a sin c cos jB=cos h (i — sin'c)+sinasin ccosB, cos c=cos c cos* M-sin a sin h cos C=co8 c ( i — sin* i)-f-sin a sin & cos Q

réduisant et divisant tout par sin c, on a ces deux relations entre les trois côtés et un angle oblique :

sin c cos 2^ = sin a cos B ^

sin b cos c = sin a cos C ] ^* ^ '

mais à cause de sin a = tang a cos a et de cos a = cos b cos c, ces nouvelles relations se changent en celles-ci :

sin c cos b = tang a cos b cos c cos Bj

sin b cos c = tang a cos b cos c cos C,

d'où l'on tire

tang c == tang a cos B y

tang b = tang a cos Cj

c'est-à-dire , i*. que dans un triangle sphérique rectangle , la tangente de run des côtés de l'angle droit, divisée par la tangente