LIVRE DEUXIÈME
de rhypoténuse, est égale au cosinus de P angle oblique adja-^ cent à ce côté; â"". que les tangentes des deux côtés de V angle droit sont réciproquement proportionnelles aux cosinus des angles qui leur sont opposés.
57. Nous remarquerons en passant, que si, dans 4a pratique, il s'agissait de trouver l'angle B au moyen de l'hypoténuse a et du côté c adjacent, on aurait à résoudre l'équation
cos Z? s= cot a tang cy
mais dans le cas où l'angle B serait très petit , les tables ne pourraient le donner exactement par son cosinus. En le déterminant au contraire par la tangente de sa moitié, on aura toute l'exactitude
requise. Or, à cause de tang* 7 -B = j^^-g, on a, en substituant pour cos B sa valeur,
tang c
tang* - 5 = ^^°6^ . tang a — tang c ^ sin (a — c)
^ • j. tang c tang a + tang c sin ( a-f- c) *
. "*" tang a
et
M, 1 » ^ Ain (a — c)
tang i -B = 1/ . ; , -■.
° • V sin (a 4- C")
Un angle d'un triangle sphérique étant toujours moindre que deux droits , \ B sera nécessairement aigu ; ainsi l'on devra rejetter la racine négative, puisqu'elle donnerait 7 B obtus.
58. Si on combine les deux équations {a!') par voie d'addition et de soustraction, l'on aura
sin (6+ c) = sin a (cos C+ cos B) = a sin ûcos^— ^j ^^^\~~)* sin (i— c) = sin a (cos C— cos j?) = a sin a sin (— ^J sin (~~"/»
et si on divise maintenant ces deux résultats l'un par l'autre , il viendra cette autre relation remarquable
tang (^ tang (^ = '^^y laquelle nous apprend que quand la sonuue des deux côtes de l'angle
droit est plus grande qu'une demi-circonférence , la demi-sonmi^ des deux angles opposés est nécessairement plus grande qu'un qua*
drant; car lang (—j-^ et sin (b — c) ayant toujours le même signe,
tang — ï-- est positive ou négative selon que sin {b+c) est positif ou négatif.
69. Pour trouver d'autres propriétés, élevons au quarré les premières relations (a') {a!')-, il viendra
cos* h cos* c = cos* a ,
sin* c cos* b = sin* a cos' Zfj
celles-ci étant ajoutées entre elles, on aura, en simplifiant,
cos* b = cos* a + sin* a cos* J5 = 1 — sin* a sin* S,
par conséquent
sin* b = sin* a sin* B ou sin & = sin a sin B j
c'est aussi ce qui résulte de la proportion des quatre sinus, démontrée à l'article 55; ainsi dajis un triangle sphérique rectangle^ le sinus d'un côté de Vangle droit est égal au sinus de Vangle opposé Multiplié par le sinus de l'hypoténuse.
60. En Trigonométrie l'on entend par cas douteux celui où l'inconnue est donnée par son sinus; parce qu'alors le problème est en général susceptible de deux solutions. Si, par exemple, dans le triangle sphérique rectangle on connaissait b etiSqui sont toujours de même espèce, et qu'on voulût déterminer l'hypoténuse a, on
l'obtiendrait par la formule sin a = ^^ ; or , le sinus d'un arc
moindre qu'un quadrant étant le même que celui d'un arc qui en est le supplément, on ne saura si a est aigu ou obtus. Il existe donc deux triangles rectangles qui satisfont aux données du problème.
