Puisque l'on a, par ce dernier principe

sin 6 = sin a sin B^ sin c = sin a sin C,

ou obtiendra , en divisant ces deux équations respectivement par

celles (a")

ainsi dans un triangle sphérique rectangle , là tangente d*un angle oblique est égale à la tangente du côté opposé, divisée par le sinus du côté de Vangle droit adjacent.

On sait de plus, par ce qui précède, que

co8s=;-5B^, co3c=;^,

tanga' tang a'

^ sin c . 7, sin fr

sm C = -: — , sin 5= -T — .

sm a* 8in a

Divisant les équations supérieures par celles inférieures, et feisant les réductions, il vient, à cause de la première relation (a'),

cos^ tans c sin n « cos C tans h sin a

T-y, = r--2 . = cos 0. -r-= = --2— , -. = cOS Cj

8in C tang a sia c ' sin ^ tang a sm 6 '

donc , dans un triangle sphérique rectangle, le cosinus d*un des côtés de Vangle droit est égal au cosinus de Vangle opposé, divisé par le sinus de Vangle oblique adjacent.

Enfin, multipliant l'une par l'autre les équations (a!") y on a pou» produit

tang B tang C s= — ^ = -^,

o o cos b COI c cos a

OU bien

cos a = cot u5 cot C.

De cette relation Ton conclut que le cosinus de Vhypoténuse est égal au produit des cotangentes des deux angles obliques.

6a. Considérant toujours le triangle ABC rectangle en ^, on a d'une part

sin a = ÎJ^, et de l'autre, cos B = ÎÏ5££.

8in5' ' tanga'

puis changeant les tangentes en sinus et cosinus, il vient

sin c cos a = cos B cos c sin a = cos B cos c î^.

sinjff

Maintenant si l'on substitue pour sin a et sin c cos a leurs valeurs

dans la formule connue

sin {a — c) = sin a cos c — cos a sin c,

' ^ j 1 — cos B ^ B

on trouvera, a cause de — . ^ = tang —,

' sin jff D a y

8in (a — c) = sin 6 cos o tang —,

résultat qui, en y mettant au lieu de cos c sa valeur ^^» deviendra

sin (a — c) = tang J cos a tang — .

Si on change les 6 en c et vice versa y dans ces deux dernières formules, on aura sur-le-champ

sin (a — J) = sin c cos h tang —,

sin (a — &)= tang c cos a tang — ;

ce qui fera connaître l'excès de Thypoténuse sur un des côtés de l'angle droit. Ces formules ont été données pour la première fois par M. de Prony , mais sans démonstration. En voici deux autres qui s'obtiennent par le même procédé :

«1 cos (a — c) =-cos i + sin 6 sin c tang 7 J5,

tane (a—c)^ tang 3 cos c tang : 2? ,

°^ ' i-f-tang^siactang^ /?'

mais leur forme rend l'emploi des logarithmes moins commode.

63. Voilà tout ce qui concerne la résolution des triangles sphériques rectangles. En ayant égard dans les formules, aux signes qui doivent affecter les valeurs de sin, cos, tang, etc., d'un angle, on ne sera nullement embarrassé sur l'espèce de l'angle ou du côté cherché, dans tous les cas qui ne sont pas douteux de leur nature. L'équation cos a = cos h cos c, par exemple , nous apprend que chacun des trois côtés d'un triangle sphérique rectangle est plus petit qu'un quadrant, ou que si deux côtés sont plus grands que loo', le troisième sera nécessairement plus petit; ou enfin que si les deux côtés de l'angle droit sont d'espèce difiërentc , l'hypoténuse sera plus grande

qu'un quadrant.

De môme, par l'équation tang B = î^?^, nous voyons qu'un