LIVRE DEUXIÈME. 6y

Remarques que quand on a obtenu la première relation de chaque système, il suffit d'une simple permutation de lettres pour avoir lea deux autres relations.

A6n de parvenir aux conséquences les plus utiles, nous tirerons d'abord de ces dernières relations les valeurs suivantes :

sin I (^+fl)=sin |^cos i5+cos^^sin i5=cos iC^2!%I*2,

cosi(^+iî>=cos i ^co8 iS— sin ^ ^ sin ^ J?=sin i C^^^t*> i cos^(^—B)=cosi^cosiB-{-smiu^smiB=smi(f-^^f^,

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lesquelles s'obtiennent facilement, en ayant égard aux formules de l'article 45. Ces valeurs remarquables sont dues à M. Delambre, qui les a démontrées d'une autre manière. On en tire sur-le-champ, en divisant la première par la troisième , et la seconde par la quatrième,

tang H-^ •+- 5) =- cot i C ^^i^l ; tangH^-S) = cot^ Cî£|i^4

Puis divisant la quatrième par la troisième, et la seconde par la première, on a

tangl(a + ^)^tangfc ^;,!gj-g ,

. y i\ X - . sin i (^ — J3)

tang H« - *) = tang i c ^j^T(:^-^.

Telles sont les quatre analogies de Néper. Les deux premières servent à trouver deux angles d'un triangle sphérique dans lequel on connaît Les deux cotés opposés et l'angle compris ; en eSbt l'on a

le plus grand angle ^ = "J" ■ 4 ^^ ,

et le plus petit angle B = — j^ -— ~ >

Ijc& deux autres analogies s^eœploient pour trouver deux côtés lorsqu'on a deux angles et le côté adjacent^

' On arrive à ces formules, aux deux premières par exemple, par une méthode plus simple, ainsi qu'il suit.

Il est d'abord à remarquer que d'après l'art. 45 ,

et tangK^-g) = eo3^+co,g '

ainsi il ne s'agit que de rendre les seconds membres de ces égalités fonctions de a, ft et c. Or, si entre les première et troisième équations (a) l'on élimine cos c, il viendra cette relation entre cinq parties d'un triangle,

cos w^sinc + cos Csinacos&=cosasin6;

par conséquent, changeant ^ en j5 et a en &, on aura

cos >^ sin c = cos a sin b — cos Csîn a cos ft, cos 5 sin c = cos 6 sin a — cos Csin ft cos a,

et ajoutant ces deux équations, il en résultera, réduction &ite,

sin c (cos ^ + cos 5) = (i — cos C) sin (a -}- h) (m).

D'un autre côté, par la règle des quatre sinus (art. 55), on a

sin c sin >^ = sin a sin C, sin c sin ^ = sin 6 sia Cj

ajoutant et soustrayant ces deux équations, il vient

sin c (sin ^ + sin 5) = sin C (sin a + sin i), sin c (sin ^ — sin B) = sin C (sin a — sin i)j

divisant successivement celles-ci par la précédente (m), on a

sin ^ + sin ^ sin C /sin a -f- sin b\

cos -/^-f- cos B '^" 1 — cos C \ sin (a + b) )*

sin ^ — sin B sin C /sin a — sin h\

cos -/^4" cos ^ ■"" 1 — cos C \ sin (a — i) /*

eafin transformant ces valeurs à l'aide des relations de l'art. 45, on trouve comme ci-dessus , .