LIVRE DEUXIÈME
tangi(^ + B)=:cotiCÎgig~g.
et de là celte propriété remarquable,
tang Ï i^ + B) tang i(n + b) tang i (^ — ^) tang i (a — ^)'
65. Lorsqu'on n'a pour but que de déterminer un des angles inconnus, Fangle u4 par exemple, on l'obtient directement de la manière suivante :
Mettant dans la relation
cos ^ sin c = cos a sin & — cos C sin a cos ft,
^ * / j . ' . 1 sin a sin C -,
trouvée précédemment, pour sm c sa valeur — t—z — , on a de
suite
cot // sin C= cot a sin 6 — - cos C cos &,
et par conséquent
^ cot a sin 6 -. ^ l
cot udl = — T—2T cot C COS b,
sin C
Cette formule donne donc immédiatement Fangle-^, au moyen de deux côtés connus et de l'angle qu'ils comprennent. Changeante enS, a en ô, et réciproquement, on a de même
. y, cot 6 sin a . ^
cot B = — —77 cot C cos a.
sin C
66. Les relations (5^) nous ont procuré, par leurs combinaisons, plusieurs formules remarquables; on en déduit aisément encore d'autres : par exemple, en multipliant entre elles celles qui se trouvent sur la première ligne, puis prenant la racine quarrée et doublant le produit, on a, en faisant d'ailleurs a + b + c:=:2Sy
, ^ IV . V flfsin (^) sin ( 5 — a ) sin (^—&) sin (5 — cY]^
a sm j-/d^ COS ^ ^ = sm u4 = -i= — ^-^ — ^^ l -^ — ^ ^ ;
■ ■ sin D sine
or, en rapprochant cette valeur de sin ^ de celle de Part. 55, on voit évidemment que
4 sin (s) sin (s — a) sin {s — b) sin {s — c) ps X — cos* a •— cos* b — cos' c+ acos a cos b cos c.
67. On sait qu'un triangle sphërique est déterminé de grandeur^ quand on connaît le rayon de la sphère à laquelle il appartient^ ainsi que deux de ses côtés et l'angle qu'ils forment entre eux ; car par l'une des formules (a) l'on peut obtenir le troisième côté. Un triangle de cette espèce est aussi déterminé de grandeur, si, outre le rayon de la sphère, on connaît deux angles et le côté qui les joint. Cherchons les formules relatives à ce cas , et pour cet effet reprenons la relation
cos ^ sin c = cos a sin h — cos Csîn a cos h.
On voit qu'en y mettant pour sin a et sin c leurs valeurs respectives
sin ^ ii\ix B ^
cos ^ sin C== cos a sin ^ — sin ^ cos Ccos b:
changeant ^ en B et a en i, et vice persây on a pareillement
cos i5 sin C= cos h sîn^ — sin B cos Ccos a\
puis éliminant ços h entre ces deux équations, il vient pour la relation cherchée ,
cos A = cos a sin B sin C — cos B cos C ; on a dono
cos>^= cos a sin B sin C — cos B cos C
cos B = cos h sin ^ sin C — cos A cos C \ (g).
cos C = cos c sin ^ sin 2? — cos A cos B
Ce système d'équations est analogue à celui que nous avons désigné par (a), et il est remarquable que l'un se déduit de l'autre, en écrivant ABCdM heu de ahc^ et réciproquement ; les cosinus étant toutefois affectés du signe négatif. La propriété du triangle polaire ou supplémentaire donne lieu à la même conséquence; car si A\ B\ C sont les angles de ce triangle, et a', 6', d les côtés opposés, on a {Géomét. de M. Lcgendre, propos. IX, liv. VII ) ces relations :
a' = 200' — A^ ^' = 200^ — a, V = ?oo — JS, i5' == 200 — t, d = 200 — C, C = 200 — cj
mais nous savons que
cos a! z=^ cos V cos d + sin V sin d cos ^'j
LIVaE DEUXIÈME. 73
par conséquent
cos (aoo — A) = cos (aoo — j?) cos (aoo — C)
+ sin (200 — B) sin (200 — C) cos (aoo — a),
et enfin, comme ci-dessus,
— cos A = cos B cos C — sin B sin Ccos a.
68. On peut donc appliquer la règle que Pon vent d'énoncer, à toutes les formules démontrées jusqu'à prés nt, ou bien traiter analytiquement les formules (g), comme nous avons traité leurs analogues (a) : de l'une ou de Taulre manière. Ton parviendra à de nouveaux systèmes d'équations qui compléteront la resolution de tous les cas de la Trigonométrie sphérique. Pour nous borner aux expressions les plus utiles, nous remarquerons d'abord que l'on a
1 — COS a = — — - » » 7s = 2sm* X ^>
8in If ain C * ^
, cos A + cos (B — C) ^ -
1 + COS a = . „ . ^ — ^ == acos* ~ a:
■ êinB $m c • '
mais en général
cos p + cos q = acos (~^j cosT^-^^^^ , ainsi
<iîn« ' —cosi{A + B+C)cosl(^B+C^ jf)
Sin - a sîQ B sin c '
cos î a — sT^Tû^C •
irtug ,u — cosi(y^ + ^— Ocosi(^+6 — ^)'
l'une de ces trois formules donnera un côté au moyen des trois angles ; ainsi , par la première, on a
• y sm i? sin C
Si la quantité qui est sous le signe radical était négative , comme elle le paraît d'abord, il serait impossible de déterminer la valeur de sin 7a : cette valeur est cependant toujours réelle, car en général
sin {x — 1^) == — cos X j donc
sin (—5 ^') = - cos ( ) ,
quantité qui est toujours positive, parce que -^^ + B + C étant 1. 10
nécessairement compris entre a^^ et 6<^, on a
ji + B + c ^^ * ^ « — -=- — -Î-— — i<^ > o et < a«.
D'ailleurs le côté d'un triangle spherique étant plus petit que la somme des deux autres, on a, par la propriété du triangle polaire,
a^ — ^< 2<i — S 4- 3*1 -— C, d'où ^ + ^-1 — < iQ j angle dont le cosinus est positif.
69. Nous pouvons maintenant tirer des conséquences semblables a celles des art. 55 et 66, savoir, que
1 — cos*^ — cos* li — cos' C— Î2C0S AcosBcoi c
sin* a =
ain* B siii-* C '
— 4cos s cos {S — A) cos (5 — B) cos (5 — C)
2S désignant la somme des trois angles.
