LIVRE DEUXIÈME

ee ijui donne une relation entre deux angles et deux c6tés. Pour en avoir une entre les trois cotés et deux angles, difîërente de celle de l'art. 65 , divisez Tune par l'autre les équations

cos a = cos h cos c + sîn & sin c cos u^,

sin a siti c

il viendra de suite

sin j4 cot a = sin C[cos h cot c-f- sin ô cos -r^];

la relation semblable entre les trois angles et deux côtés sera visiblement

sin a cot -^ = sin c [sin B cos a — cos B cot C].

71. Toutes les formules que nous venons de démontrer suffisent pour les besoins ordinaires de l'Astronomie , et sur-tout de la Géodésie ; cependant nous allons en donner encore d'autres qui pourront trouver leurs applications, ou du moins qui concourront, avec les précédentes, à faire connaître la fécondité de l'Analyse trigonométrique.

Si de la formule

sin {a'^c)=:i sin a cos c — cos a sin c on élimine sin a et sin c, dont les valeurs respectives sont "" . ^'^—

^ sin h sxnC

et — r-H—jOnaura

/ N sin 6 cos c sin A — sin b cos a sin C

sm (a — c)= r--= :

^ / sini> '

mais à cause de la relation coscsin^=cosCsin5+eos<2sinCcos5, donnée à l'art. 67, il est évident que l'expression précédente se changera en celle-ci :

sin (a — c) = sin 6 cos C — cos a sin 6 sin C C~^^l ' \ de là

sin (a — c) = sin J cos C— cos a sin J sin C lang 7 J5,

formule donnée par M. Delambre et démontrée dans son Astronomie à l'aide d'une construction que nous avons voulu éviter ici,

afin de rendre notre procédé purement analytique* Cette formule

est une généralisation de celle de l'art. 6a.

Déterminons aussi a '^ c par son cosinus et par sa tangente^ D'abord la relation

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos S,

en y mettant pour cos B sa valeiu: i — a sin* 7 B, devient

cos b = cos (a — c) — a sin a sin c sin* 7 B;

^ I . sin h 8În C &în b sîn C .,

puis, a cause de sm 0= • — :— ^ — = ^ . , „ r», on a lexpres-

sion cherchée

cos (a — c) = cos 6 + sin a sin 6 sin C tang j5, par conséquent

tane fa — c) = ^^g ^ ^Q^ C— coa g tang b sîn Ctang ^ ^ ^

formules nouvelles et qui rentrent évidenunent dans celles de Tart. 6a , lorsque le triangle sphérique est rectangle.

73. Les relations (J^) de Fart. 64 procurent de suite une expression très simple de sin (a — c) j en effet Ton a, en y changeant j5 en C et b en c, et vice versa,

sinH^+C)=cosi5S5ii^-=^.

6inn^-C^ = cosi5ÎÎU^Jpî;

multipliant celles-ci Tune par l'autre et simplifiant , on a

^ ^ cos* ^B a cos* -j B

On trouverait aussi par une route toute semblable sin(a + c)="'^^'"'^^^':^.?^""^'^^''^^=sinfrgg^^

^ ^ sin* i B a sin* \B

expressions données par M. Delambre {astronomie ^ 1. 1, p. 16a), et qui, étant multipliées entre elles, procureraient une autre relation remarquable, mais que nous trouverons plus tard par une autre voie-