LIVRE DEUXIÈME

Si on rapproche les deux valeurs de sia (a-^c), on aura visiblement

2lîii±i:4^ilii±=^ == CCS C - ces a sin Ctang i B, OU bien

3 sin J(^4- C) sîni (^— ' C) s= a cos* ^Bcos C — cosa sin Bsin Q

relation nouvelle entre les trois angles et un côté d'un triangle sphérique; mais on peut y arriver par une route beaucoup plus directe. En efiet, les deux équations

cos ^ = cos a sin u5 sin C — cos B cos C, cos C 5= cos C,

étant soustraites l'une de l'autre, puis ajoutées ensemble^ donnent^ après quelques transformations faciles ,

asini(u4+C)sinj(^ — ^^C)=52Cos45cosC— cosasinJBfsinC, 3 cos^(^4-Ç) cos X {^ — C) =3 sin* i B cos C+ cosa siiy| sin Cj

il suit de là que

Nous ne nous arrêterons pas à faire voir que le triangle supplémentaire donnerait sur-le-champ des relations semblables entre les trois côtés et un angle.

73. On arrive très simplement à diverses relations entre les six parties d'un triangle , ainsi qu'il suit.

En vertu des art 64 et 67 on a

cos -r^ sin c = cos a sin 6 — cos C sin a cos b, cos a sin C = cos -^ sin 5 -f- cos c sin ^ cos B;

divisant ces deux équations en croix il vient

cos .^8in^ + cos c8În^co3^ cos a sin C

cos Asiac ""^ cos a sin 6 -— cos Csinacos b '

et simplifiant 9 on a

sin ^ -I- cos c tang A cos B sin C

sine sin6-*-cos Ctaogacosp' ^

dîyisant au contraire membre par meml)re les mêmes équations, et

sin c sina

remarquant que ^-r^ = ^r^, on trouve

cotA cos a sin i — cos C sin a cos b cot a cos -^ sin ^ -|- cos c sin >^ cos iff*

Si dans la première équation Ton changeait ^ en JS , a en 6, et réciproquement , et qu'on procédât comme il vient d'être dit eu premier lieu, on tomberait sur la relation

cos A tang B + sin A cosc sin C .

sin c cos b tang a — ain A cos C*

donnée par M. Delambre.

Enfin si on multiplie par cos B , les deux membres de Fcquatioa

cos B sin C= cos ^ sin ^ — sin J5 cos C cos a,

obtenue à l'art. 67, on aura

sin C Hin^ B sin C= cos & sin ^ cos B — sin B cos B cos C cos a j

ou bien

sîn C — cos b sin A cos B

sinZ? '

sin B sin C — cosjB cos Ccos aj

transportant cette relation dans le triangle polaire, on aura de même

sîn c —* cos B sîn a cos ft • i • , » ^ ^

^.— r = sm £^ sm C + COS b cos c cos u4 ;

sin b ^

mais les premiers membres de ces deux dernières équations sont égaux, car

sîn C — cos J sin y/ cos Jî sin C

sinZ^ sîn c — cos B. sin a cos b

sin B \ sinC/'

sin c — cos B. sîn a cos ^ sin c / , -, sin o\

et . , = -r~r ( 1 — cos cos B -. — ).

sm o sinù \ flin c/

D'ailleurs

8\nA sin a sin C sin c ^

sin C """ sin c ' sin /? ""^ sin b ^

on a donc celte autre relation symétrique erftre les six parties d'un