LIVRE DEUXIÈME

triangle y

ftin B sin C— cos B cos C cos a == sin 6 sin c + cos b cos c cos -r^;

celle-ci a été trouvée par Cagnoii par un procédé analytique tout différent (voyez sa Trigonométrie, p. 3a6 , a« édition). Cet astronome en a fait usage dans la recherche des formules d'aberration.

Formules usuelles pour la résolution des triangles sphériques

engrènerai, etc.

74. Le calcul des triangles sphériques ne comprend que six cas généraux.

i« Cas. Étant donnés les trois côtés a, h, c, trouver un des angles.

Par exemple, veut-on l'angle ^, on l'obtiendra par la^formule

sin iu4 = A^(^-b)-n(s-c) * y sm ^ 8in c '

dans laquelle s expriiùe la demi-somme des trois côtés , ou par cette autre

, ^ /sin s sin (^ — a)

COS-Î-^ = 4/ r-A 'y

■ y sin o sine '

qui évite une soustraction.

Si on voulait calculer directement l'angle^, il Êmdrait résoudre l'équation

^ cos a — cos b cos c

COS-^=: . ,

81U o sine ^

mais alors pour n'employer que les logarithmes de lignes trigo nométriques, on supposerait que cos b cos c = cos a, ce qui serait permis, puisque l'unité est la plus grande valeur que puisse acquérir un produit de cosinus : de cette manière on aurait

a sin ^ cos a — cos «

cos^ =

sin b sin c sin b âin c

Le signe de cos ^ dépend nécessairement de celui de sin (— ~)> et

remarquez que l'arc subsidiaire a est < ou > 1^ selon que les côtés bf c sont de même espèce ou d'espèces diâérentes (art. 63)^

76. a"« Cas. Étant donnés les trois angles Aj B, C^ trouver un des côtés.

On aura le côté a , par exemple , à l'aide de la formule

mia=:^''

on pourrait aussi obtenir j a par son cosinus ou par sa tangente (art. 68).

76. 5"*^ Cas. Étant donnés deux côtés a^ b, et Vangle compris Q, trouver les autres parties du triangle.

On aura le troisième côté c par la formule

cos c = cos a cos & + sin a sin /^ cos Cj

mais son emploi immédiat exige que Ton fasse usage de la table des sinus et de celle des nombres. On remédie à cet inconvénient en décomposant en deux facteurs le second membre de la formule ; mais cette opération ne peut se faire qu'à l'aide d'un arc auxiliaire. Soit donc ^ cet arc^ et de plus Jlf un coefficient indéterminé, en sorte qu'on ait

cos c = Jlf cos {a — (p)\

développant cette expression , il vient

cos c = M cos a cos ^ + itf sin a sin ^ , d'ailleurs cos c ss cos a cos b + sin a sin 6 cos C;

et comme ces deux valeurs doivent être identiques, on a, en les égalant terme à terme

M cos ^ = cos b ,

Jf sin <p = sin b cos C,

d'où tang ^ = tang b cos C, ilf = ^^^,

et par suite,

cos C = COS (a — 0).

Autrement l'on a

COS c = cos b [cos a + tang b cos C sin a] , et si l'on fait tang icosCsa: tang (p, on aura, conmie ci-dessus,