LIVRE DEUXIÈME

cos 0= cos b [cos a + tang ^ sio a],

= — [cos a cos 4- sm sin aj,

cos 6 /- ^\

î= — -- cos (a — ^).

L'arc auxiliaire p représente donc le côté de l'angle droit d'un triangle sphérique rectangle, dont b est l'hypoténuse et C l'angle obb'que adjacent (art. 56); en d'autres termes, c'est le segment adjacent à l'angle C, formé par la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle ^ sur la base a opposée. Lorsque tang ç sera négative, auquel cas le segment sera extérieur au triangle, on prendra Ç) négativement,

et par conséquent l'on aura cos c =— — cos (a + ^); du reste il

faudra avoir égard aux signes des cosinus.

77. Si, dans l'expression de cos c, on met pour cos C, sa valeur 1 — asin* ï C, il viendra d'abord

cos c = cos (a — 6) — 2sin a sin b sin' 7 C;

puis si l'on change de même les autres cosinus ^ on trouvera, réduo-

tion faite ,

sin' î c = sin' j (a -— fc) + sin a sin b sin' ^ C

• • 1 / i.\ r" I sin asin isin^rCn

Soit tang 6 = ,i^T^t-b) Vsin a siâb, on aura évidemment

8in^c = sini(a-J)(i+tang«fl)ï='-iîl-i^);

solution analogue à celle de l'art. 48 : elle est sur-lout utile lorsque le côté c ne peut être déterminé rigoureusement par son cosinus, à cause de l'exactitude limitée des Tables de logarithmes. En effet , quand c est très petit, son cosinus diffère si peu de l'unité, que le logarithme correspondant, qui ne renferme que 7 chiffres décimaux, appartient indifféremment à un arc plus grand ou plus petit. On ne tomberait pas dans cet inconvénient, si j c était peu différent du quadrant, et qu'il fut donné par son cosinus.

Pour l'obtenir de cette manière, l'on remarquera qu'à cause de

cos c= acos* ~ c — 1, et de cos (a — i) = aco5' i (a — i) — 1, 1. II

8fi TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

on a

cos* ï c=: cos* j{a — i) — sina sin b sîn* i C,

^ , / IX r sin a sin b sin* i CH

or, ici l'on peut égaler au quarré d'un sinus la quantité qui suit Punîté dans le second membre, parce que le problème n'est possible qu'autant que le facteur binôme est positif;

soit donc sin fl = — ^^ — ti Vsin a sin b ,

cos -j (a — 0)^ '

on aura ^ cos 70 = cos 7 (a — b) cos fl :

la seconde racine négative est inadmissible , puisque ^ c < 1^. Lorsque a — b est très petit, il vaut mieux, pour l'exactitude de la solution numérique, changer cos Cen 2C0S* 7 C — 1 , et l'on voit bien pourquoi, d'après une transformation analogue opérée à l'art. 48.

78. Quant aux angles inconnus ^, S, ils se déduiront tous deux des analogies de Népcr, qui donnent

tangK^-5)=cotiC§i^gj car ensuite on a

^=K-^+JS)+K^-5),etB=i(^+5)— K-^-e).

On aurait aussi directement

cot fl sin i — cos Ccos b

COt^ =

cot B —

sin C '

cot 6 sin a — cos C cos a

sin C '

et pour réduire, si l'on veut, à un seul terme chacun des seconds membres, le premier, par exemple; soit comme ci-dessus (p un angle auxiliaire, et M un coefiicient indéterminé, puis supposons que

cot ^ = iJf sin {b — (p)y on aura, en développant,

cot udf = Jf sin & cos ^ — M cos b sin ^;