I . ^ sîn a sin b sin C

sm > = sm 6 sm A = : :

d'ailleurs, par ce qui précède,

sin c = \/i — cos* c = v/(i +cosc)(i — cosc) = v/[i 4- cos [a — b) — 2 sin a sin h sin* ^ C] [i — cos (a — fc) + 2 sin a sin ^sin* ^ C] = 2 v/[cos* 7 (a — h) — sin a sin b sin' ^ C] [sin* 7 (a — i) + sin a sin Z> sin* { C].

Substituant donc celle valeur dans l'expression précédente, on trouvera, après quelques transformations aisées,

sin a sin b sin C sm y = --=

t/( coa fl sin A — sin a cos b cos ^)* + sin* a sin* 7

cotiC

7r cos^K^-^) ^n r sin-i(a>-fe) . n'

V Lsin a sin i sin* ^C J Li*"i a sin b sin* i C "*" J

Soit maintenant

-r — -^T^-TTr» = sec' i/, et -r — ?-V~TV7i = tang' u'i

mn a sm b sin' ïC ' sin crein b sm* i C o /

alors l'expression précédente se changera en celle-ci

sin ^ = cot 2^ cos v! cot \ C.

La solution qui se présente naturellement est de chercher d'abord le côté c par son cosinus et de résoudre ensuite l'équation

s'in a sin b sin C

8in y = : .

^ sin c

Voyons cependant si , en calculant directement la perpendiculaire 7 par sa tangente, il n'y aurait pas quelque chose à gagner du côté de de la brièveté.

j^ . . sin* y ain* a sin* b sin* C

On a tang*> = — = -7-; r-^ — . - ,, . ^^ ;

o ^ I — sin" y sm* c — sin* a sin* o sin* C '

substituant pour sin^c sa valeur 1 —(cos a cos è-f- sin a sin & cos C)% puis développant et réduisant, on trouvera

^ sin* a sin* b sin' C

o J^ ""• i cos* a cos* i> — sin* a sin* 6 — a sin a cos a sin & cos i> cos C '

mettant dans le dénominateur, sin* a + cos* a à la place de Tunilé, et réduisant encore , on obtiendra facilement

^ ^^^ sin* a sin* b sin* C ^

D ^ — ^ sin* a cos* ^ •+• cos" a sin* ^ — a sin a cos a sin ^ cos b cos C

sin* a sin* ^ sin* C

^ sin* (a — ^) •+• 4 ^^^ ^ cos a sin b cos i sin* 5 C

/* 1* • -^ sin a a sin 2 i sin* {C . . -.

enfin , faisant H n* (a — />) ^^ S ^ ^° ^^^^

. cos I sin a sin b sin C

solution plus courte que la première.

80. Il est facile de trouver d'autres expressions de Parc perpendiculaire, lorsqu'on ne s'astreint pas à les rendre uniquement fonctions de deux côtés et de l'angle compris. Par exempte , si on élève au quarré l'équation sin yz=:s\nb sin ^ , et qu'on Ëisse attention que sin & sin ^ = sin a sin J3, on aura évidemment

»in*3^=sinasinisin^sinJB, delà cos*>=i — sin a sin i sin ^ sin ^.

B'aiUeuri à cause de cos C= sin udf sin B cos c — cos u^i cos 5, on a

sin ^sinB^ cosCjh cos^^cos£

cos Ç '