LIVRE DEUXIEME

et par suite,

cos c -*• sin a sin b cos C— sin a sin 6 cos ^ cos ^

cos*>

cos c

cos a cos 6 —sin a si n & cos ji cos ^ ^

cos c '

expression due à M. Delambre, et qui renferme trois côtés et deux angles. On peut aussi rendre sin y fonction des trois côtés seulement, en mettant dans l'équation sin yzzzisin bsiu ^^^ pour sin ji sa valeur donnée à l'art. 55.

Mais aucune de nos solutions n'indique si la perpendiculaire y est plus petite ou plus grande qu'un quadrant. Pour lever le doute , il faudrait connaître les angles^ et iS; car s'ils sont de même espèce, la perpendiculaire tombera dans le triangle, et sera aussi de l'espèce de ces angles (art. 63).

8i. Nous avons vu plus haut que la 3» équation (a) art. 54 prend cette forme

sin' 7 c = sin* T (û — i) 4- sin a sin b sin' ^ C, son analogue (s), art. 67 , devient, par le même procédé, sin» ^ C = cos' ^ (^ + S) + sin ^ sin B sin' ^ c ; or, si on élimine sin' { C entre ces deux résultats, on obtiendra

^:„. 1 ^ sin^ j (g— &) + sin Qsin b cos » { (A + B")

1 — sm a sin (7 sin ^ sin ^

Par une marche parfaitement semblable on trouverait

cos' i c = cos' 7 (a + fc) 4- sin a sin b cos' i C, cos' î C= sin' j{^ — S) 4- sin -*^ sinB cos' j c,

par suite

^ , cos* ^ (g + &) + sin g sin b sin* ^ (^ — B) ,

* 1 — singsin^sin^ sin>ff

et enfin

- .j^ »^P* i (g — ^) + gin a sîn ft cos* {(J+B)

wn^ • ^ — cos* i(a + 6) + 8ing8m6sin*iC^ — ^/

C'est une des relations curieuses trouvées par M. Delambre

«6 ;rRAITÉ DE GÉODÉSIE.

{Astronomie, tome I, page aoi). Il en existe une toute pareille entre les trois angles et deux côtés, et cela est une suite naturelle de la propriété du triangle polaire. Mais en yeut-on une différente composée de ces mêmes quantités, il n'y a qu'à multiplier Tune par l'autre les deux équations suivantes :

. ^ cos aûnb — sîn a cos b cos C sin (a-f-i) sîn" \C — sin {a — i) cos" f C

âin a sin C sin a sin C '

yj cos è sin a — sin b cos a cos C sin (a+ô) sin* 7 C+sin (a — b) cos* ~ C

Sin £1 sin C sm o sm C

obtenues à l'art. 65, et l'on a ura

cot AcotB = ^'"' ^° + *> -'"^^ ^-""'5r '^ '"' • ""»

bia a sin b sin* C

ou autrement, à cause de sin* C= 4 sin' i Ccos* ^ C, il viendra

4 sin a sin i cot -^ cot 5= sin* (a + i) tang' { C — sin* (a — 6) col* 7 C;

relation qui nous paraît nouvelle et assez remarquable.

Si, au contraire, on ajoute les valeurs de sin a cot^et sin b cotZ?, on aura de suite

sin b cotB-h sin a cot ^ = sin (a + b) tang ^ C, pareillement sin b cotB — sin a cot -^ = sin (a — b) cot 7 C;

enfin multipliant, ensuite divisant ces deux résultats l'un par l'autre, il viendra

sin* b col* B — sin* a col* ^ = sin (a + b) sin (a — b)y

sin b cot B + s\na cot -^ sin (a + 6) m i n

sin 6 cot ^ — sin a cot A sin (a — bj ^ *

Toutes ces relations fort simples pourraient servir, dans un calcul trigonométrique, à réduire en un seul terme des quantités complexes.

82. Avant de quitter cette digression sur les recherches de ce genre , nous ferons encore remarquer que les deux équations fondamentales

sin b sîn c cos ^ = cos a — cos b cos c,

sîn A sin a

bin B binb *

étant divisées Tune par Fautre , donnent tout d'abord cette autre relation connue^

cot ^ sin B == -: : .

sin a sin c

On pourrait, par de iseniblables artifices de calcul, trouver beaucoup d'autres relations trigonométriques , mais qui seraient plu» curieuses qu'utiles.

85. 4« Cas. Etant donnés deux angles AyB et le côté c compris, résoudre le triangle.

La solution relative à ce cas est toute pareille à la précédente; ainsi on aura les deux côtés a, h par les formules de Néper, savoir :

•tang Ha + ô) = tang 1 c ^-^!|^^.

tang Ha - 1) = tang i c ;-giH^, gu par celles-ci;

cota= r^ = cos(J5— ^);tane0=— --;

. 1 cot^sin^+coây^cosc cos c f j ^i\ ^ I cot B

cot b = r^ = 7 cos (A — (p'); tang 0'= .

Ayant déterminé a et J , on trouvera sin C par l'équation '

sin C== ^'° ^ ^^" — , ou directement par la formule

sin a ^ *

COS c = cos c sin ^ sin JB — cos A cos 5; ou bien soit tang (p = — — , on aura

eus c

^ cos B . f ^ 'y.

COS c = -T — sm LA — ^).

sin 9 ^ ^ '

Pour trouver l'expression du sinus ou de la tangente de l'arc perpendiculaire au côté c en fonction des données actuelles, procédez comme dans le cas précédent, ou, ce qui est plus simple, transférez au triangle polaire les résultats ci-dessus (art. 79).

84. 5* Cas. Etant donnés deux côtés a, h et l'angle A opposé au premier côté , trouver le troisième côté c et les deux autres angles B , C.

L'angle inconnu B s'obtiendra par la formule sin B = ^^" . "" ; et

pour trouver Pangle C, on aura à résoudre l'équation

cot A sin C+ cos Ccos 6=ac cot a sin 6,

qui monterait au second degré si l'on y mettait pour cos Csa valeur

\/\ — sin* C, et qui fournirait par conséquent deux racines. Ainsi le problème proposé est susceptible de deux solutions. Mais au lieu de suivre cette voie, il est plus simple d'introduire dans le premier membre de l'équation un angle auxiliaire <p , tel qu'on ait

M sin (C+ ^) = cot a sin b.

Pour déterminer cet angle ainsi que le coefficient itf, développons et comparons terme à terme les deux membres de ces équations , il viendra

Jf cos^ = cot-^,

j?lf sin ^ = cos b.

Delà

tang ç) = tang ^ cos & et sin (C+ ?) = '^^^-^ •

ici 1^ — <p est l'angle au sommet C du triangle formé par le côté b el la perpendiculaire abaissée sur la base c (art. 6i ).

Lorsqu'on substitue pour cos 6 sa valeur déduite de la seconde relation (s), on a

^ cos B 4- cos A cos C

tang ^ = -~r-^-7^ •

° ^ cos A «m C

on a en outre

. ^___ sin C

o ^ cot a tang b — cos (?

Le troisième côté c sera donné par l'équation sin c = ^'° ^ ^'^ — j ou bien en n'employant que les données primitives, par la formule

cos b cos c -4- cos A sin 6 sin c = cos a,

qu'on transformera en celle-ci

cos (c — ç)

cos a cos^ cos b

àl'aide d'un arc subsidiaire <p donné par l'équation tang^=:cos^tang b. Cet arc, qui est le segment adjacent à l'angle A y et qui se trouve formé par la perpendiculaire abaissée de l'angle Csur le côté opposé,