LIVRE DEUXIÈME. 8g

peut s'eicprîmer analjtiquemeat de plusieurs manières d ficrentes p selon les données du problème^ par exeoiple^ si les trois côtés sont connus y on aura

. - 1 ^ cos a — C03 b C05 c

tang (p ==: tang b cos ^= j--, .;

COa U 8111 C

Si deux côtés et l'angle compris sont donnés , on aura

s\n b cos A cos a sin r — sin a cos c cos B

tang e = 7 — = ï — : r 5;

^ ^ cos o cos a cos c -^ sin « sin c cos iff

c'est ce qu'il est aisé de voir. Il n*c&t pas plus cifficile de reconnaître que

- sin c cos A ^___ s'n c cot A sin B

^ ^ cot ^ sin ^ -f- cos c cos A """ tang A cot ^ -f- cos c coséc acos b'^

Le même segment pourrait aussi s'exprimer en fonction des trois angles.

85. 6* Cas. Étant donnés Jeux angles Ket^ avec le côté a opposé au premier, trouver les deux autres côtés h, c et le troisième angle C. /

La solution de ce problème se déduit de la précédente par la propriété d'un triangle polaire; ainsi on aura le côté b par l'équation

sin 6 = — .^^^ , et le côté c par la formule

sin -ri ' *

cot a sin C — cos B cos c = cot ^ sin B^ de laquelle on tirera

. / ^N tang B sin o

sm(c-<p) = -4-^-f,

en y introduisant un angle auxiliaire ^ donné par Téquatiom

tang ^ = cos B tang a.

Enfin l'on trouvera l'angle C au moyen de l'équation

cos a sin JB sin C — cos B cos C= cos J/;

mais pour abréger le calcul, on fera tang ^ = ^ — , et Ton aura

//-i ^\ cos/^sin^

cos^ I. IS

Ce problème est, comme le précédent, susceptible de deux solutions (art. 60). Voyez la Trigonométrie de M. Legendre, pour savoîrdîstingucrdans ces deux cas si parmi des valeurs particulières des quantités données, il existe deux triangles qui satisfont à la question, ou seulement un seul. Ici nous supposons les cas les plus

généraux.

86. Si l'on connaissait deux angles^, B, ainsi que les deux côtés opposés a, 6, et qu'on voulût déterminer immédiatement le troisième angle C, on pourrait transformer la relation

sm (a — />) = -^^^ ,

démontrée à Part. 72 , en cette autre,

sin(a-.fc) = 5^^tangiCsiniC>'+5)sinK-^-B),

qu'on obtient en multipliant le second membre de la première , haut et bas, par sin C; et de là on aurait

tane i C sin A sin {a — b)

wiig . ^ — îwin a sîn i (y^ -+. J5) sin \ {A— By

isans ambiguïté.

U résulterait en outre de Tarticle cité,

cot 1 c sin A 8În (g + b)

* asin a coai (^ + i5) cos i {A — B)"

Si on voulait l'angle Cpar son cosinus, il faudrait de l'équation

cos C= cos c sin ^ sin J3 — cos ^ cos B

éliminer cos c = cos a cos & + sin a sin h cos C, et l'on aurait, mais d'une manière beaucoup moins commode pour les logarithmes,

^ C08 a cos b sin ^ sin ^ — - cos A cos B

cos c = r ^-,— ; . . .

1 — sm a sm 6 Sin uf sm B

Lorsqu'on multiplie entre elles les valeurs ci-dessus de tang { C et cot ï C, on a de suite la relation

sin* a sin (a+ b) «în (a — i) êu? ^ Jin(^+^)sinC^ — i^)'