LIVRE DEUXIÈME

que Ton peut vérifier ainsi qu'il suit :

En général, sin* a — sin* b = sin (a + h) sîn (a — h) ] . /g.

8in»^ — sin^5 = sin {^+B) sin (-^— fl) j '

. . sm fl^^i — -^ T^) 3;^ (g + ft) 5in (g — &)

• sin & sîn B m

mais -: — = -: — 5: donc, etc.

sin a sin uf ' '

Dans les applications numériques, il faudra, pour éviter les solutions inutiles ou fausses, avoir égard aux signes des lignes trigonométriques (art. 46), et se rappeler les trois règles suivantes:

1*. Tout angle ou tout côté d'un triangle sphérique doit être plus petit que deux quadrans;

a*. Les plus grands angles sont opposés aux plus grands côtés, et réciproquement;

3^ Enfin, un angle ou un côté d'un triangle sphérique ne peut être négatif.

De quelques propriétés remarquables du triangle sphérique, et notamment de diverses expressions de sa surface.

87. Il existe une propriété du triangle sphérique de laquelle on déduit immédiatement une relation entre les trois angles et deux côtés. Cette propriété est que si on divise en deux parties égales, par des arcs de grand cercle, chacun des angles d^un triangle sphérique, ces arcs se couperont au même point.

Supposons que les aires ^a , Çc (fig. i5), divisent en deux parties égales les angles ^ , C, et se coupent au point i?; il s'agit de prouver que l'arc de grand cercle BRb divisera aussi en deux parties égales l'angle B.

Or, les deux triangles CjiR^RACj donnent

sin AC ^^^ sin CR

sin/l ""^ s'mi A* sin Ac sin cR

sin H sin ; ^'

divisant ces deux équations Tune par l'autre, on a

gi TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

sîn j4C sin CR sin ^c "" sin cR^

ainsi, quand un arc tel que ^R divise également un angle d'un triangle sphérique , les sinus des segmens du côté opposé sont entre eux comme les sinus des côtés adjacens.

Le triangle ^CB^ dans lequel Ce partage en deux parties égale* l'angle C, donne par conséquent

sinAC ' %\nCB

sin Ac "^ sin cB '

de ces deux rapports égaux il suit que

«in CR sin CB sin cR *** sin cB^

donc l'arc BR divise également l'angle B. Donc, etc.

Maintenant il résulte de l'art. 70 et de l'hypothèse ci-dessus, que les deux triangles B^Ry CBR donnent respectivement

COtSTÎ = coti^sîni^ COtCCOS^S,

sm c . » /

cot BR = — ^-T — h cot a cos î Sj

sin a

on a donc la relation cherchée en égalant ces deux valeurs, et en réduisant, savoir :

sin (a — c) = (cot i Csin c — • cot 7 -^ sin a) tang i B-,

c'est à quoi l'on parviendrait encore par quelques artifices de calcul appliqués à la valeur de sin (a -— c), donnée à l'art. 71^.

Si l'on fait attention qu'à cause de ^?^ c= ^î^, l'on a

^ BViA sinC

. ^ sîa c cos A • . ^ sin a cos C

smacot ^ = —7-7^-, smccotCss — . " , .

sin € ' 8in ^ v

et par soustraction

sin c cot C — sin a cot^^=i ^^ (cos C— cos ^) ;

alors en mettant pour cos C et cos ^ leurs valeurs acos* | C — i et 2C0S* ^ ^ — X, il viendra