LIVRE DEUXIÈME. gS

sin c cot C— sîn a cot -*^ = ^^ (cos* { C— cos* | ydf)

sin c.cos*î C 8În a.cos' j A • """ sin 5 Ceps ï C sin ^ yjf cos J ^

sssinccot^C— sinacotï-^.

Par conséquent Ton a aussi

sin (a'-^c);^=z (cot Csin c — cot ^ sin a) tang 7 B.

88. Si du point II de concours des arcs qui divisent également chacun des angles ^, By C, on abaisse des perpendiculaires sur les côtés opposés, ces perpendiculaires seront nécessairement égales comme dans le triangle rectiligne, et elles partageront aussi les trois côtés en six segmens égaux entre eux deux à deux. Par exemple, les segmens adjacens à l'angle ^ auront chacun pour valeur le demi-périmètre s du triangle, moins le côté opposé à cet ande. Ainsi, par la propriété du triangle sphérique rectangle. Tune aes perpendiculaires dont il s'agit étant désignée par y^ on aura (art. 60),

tang y = tang ^^ sin (s — a) = tang ï 5 sin (5 — b) = tang 7 C sin (5 — c) j

de là cette nouvelle relation, signalée par M Molweide, savoir :

tang 7^ '"^sinCj — a)*

(Voyez la Connaissance des Tems^ pour l'année 1820, pag. 346.)

Il est évident que la distance a du point R à l'angle A sera donnée par la formule

tang (j— a)

tang OL = — X j ^ o cos £ A

Quand on est parvenu à des formules nouvelles, il est utile de les vérifier par des exemples numériques : on pourra , pour cet effet , employer le triangle d'épreuve, dont M- Delambre a calculé toutes les parties [Astron.^ tom. I, pag. 227).

Il est remarquable que si les arcs ^a, JBfc, Ce étaient chacun perpendiculaii'es aux côtés a, &, c, ils se couperaient pareillement en un même point -R. Celte autre propriété n'est pas plus difficile à

démontrer que la précédente , et eUe résulte de ce que les cosinuS'

des deux segmens de la base, formés par la perpendiculaire, sont

proportionnels aux cosinus des côtés adjacens.

8g. Occupons - nous maintenant* de la recherche de Paire d'un triangle sphérique , en fonction de trois des six parties dont il est composé. Or, on sait que l'aire d'un tel triangle a pour mesure l'excès de ses trois angles sur deux angles droits , c'est-à-dire qu'elle est égale à autant de triangles tri-rectangles, ou de huitièmes de la sur&ce de la sphère, qu'il existe d'angles droits dans l'excès dont il s'agit (Géc^met. de M. Legendre , liv. VII , prop. a3). Soit , d'après cela , 2 l'aire cherchée, i^ le quadrant pris pour unité de mesure des angles , et ^, Bj Clés trois angles d'un triangle sphérique; on aura

Mais p désignant le rayon de la sphère à laquelle le triangle appartient, et ic la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon est pris pour unité, on a pour l'expression de l'aire de cette sphère, 4^/% et pour celle TA\x triangle proposé , évaluée en mesures quarrées,

formule dans laquelle le facteur 2 doit être un nombre abstrait. Par exemple, siZ était donné en degrés, il faudrait remplacer ce

facteur par —, parce qu'alors i^ = go*.

On peut avoir 2 sous différentes formes. D'abord il est évident que

sm-^ = ^m{ç^^ i<^^=:cos(^-f--H-J;

développant le second membre, il vient

sm -=~cos(--^)cos-+sm(-:t^

ct^substituant pour sin ^ — ^—) et cos (' ■-) leurs valeurs en fonction de a, i, c, C (art. 64) , on trouve

sin j = -'°4~^^[cosK«---*) — cosKû^ + fc)]

asÎD ^ a ain jb s\n\C cos \ C sin ; n ain ^ & gi n C ^çr% ^

coiyc "^ coaic ^ ^^