cos T (a — 6) sîn (s — n) sîn (5 — b
mais sin {s — à) sin (^ — 6) = J [cos {b — à) — cos c]; ainsi
, ^ flcos i a c os i b cos j (a — b) — i cos (a — i)+ J^ cos c ^
COS -r 2r — — —————————— , , , , J
■ acos i a cos l b cos Je '
et comme cos (a — ft) = acos* ^ (a — ft) — i , le numérateur du second membre de cette équation devient
[cos \ (a-'b) + cbs 7 {a+b^'jûûs j (a — b) — cos» ^ (a— ft) + i cosc+l,
et se réduit à
1 / I L\ t / r\ • 1 11 cos a + cos b 4- cos c + i
cos|(a+J)coSï(a — J)-|-7Cosc+ï= -?- -^ }
on a donc celte formule remarquable, .
- , cos a 4- cos b + cos c + i
COS -j 2 = — —-i ~ r?—
* 4COS î a cos 5 6 coa i c
cos* J a -A cos* î 6 4- cos* J- c — i ^ %
""^ acos i a cos 7 ^ cos Je ^ ' '*
Cherchons maintenant, à l'exemple de M. Legendre (Géométrie,
note X), l'expression du rap^iort '"^ ^^ . Premièrement, par ce qui précède,
1 — cos i z . , ^ — . ,■■ ' ■- = tanc i 2
1 — cos* 7a — cos^^i — cos*ir4-2co8 Jacos jftcos Je \/ sin s sin (j — à) sin (s — b) sin (j — c)
second lieu , le numérateur de cette expression étant le dévelop-. pcmcnt de la quantité
(i — cos* j a) (1 — cos* i 6) — (cos x a cos ^ 6 — cos | c)*,
il s'ensuit qu'il peut être remplacé par le produit
{(sin '- a sin ^ &+ cos ^ a cos ^ b — cos j c) ) (sin^asinjè— .cos|acos^6-i-coSï c) J*
en
ou par cette autre,
[cos i(a — ft) — cos ^ c] [cos 7 c — cos 7 (a + b)] =4sin i ^sin(— ) sin (i=^^ sia (—)•
Mais en général,
sin y X / sin* j x t ^
V^% ~ V a3ini^co8 ix " Vr tang ^ X î
ainsi, on a définitivement la formule suivante, due à M. Lhuilier de Genève : .
taDgi2= ^tangîtaDg(i^)tang(i=i)tang(i=^)] (8).
Toutes les relations précédentes sont connues; mais la route qui nous y a conduit nous parait nouvelle et directe , et c'est ce qui nous a engagé à les reproduire ici.
90. Avant de terminer cette matière, appliquons d'abord la formule (6) à la recherche du maximum d'aire d'un triangle sphériqiie dont deux côtés sont constans. Dans ce but, égalons à zéro la différentielle du second membre de cette formule , afin de caractériser ce mxiximum; il viendra sur-le-champ
G = 1 -f- cot 7 a cot V i cos C, ou bien
o = sin 7 a sin 7 & + cos 7 a cos 7 h cos C.
Or , en mettant successivement pour cos C ses deux valeurs,
1 — ' asin* 7 C et acos* \C — 1 , on a
acos ^ a cos 7 6 sin* 7 C= cos 7 (a — J), acos 7 a cos 7 h cos* ^C=: cos 7 (a + 6).
Et, divisant ces deux relations l'une par l'autre, il vient
Mais par une formule de Néper,
tang 1^ (^ + 5) = ï^ '^r^'^Fy I. i5
ainsi définitivemciit
tangiC=rtangf(^4-i5),etC = ^ + JB.
Il résulte de là que de toits les triangles sphériques formés avec deux côtés donnés et un troisième à volonté ^ le plus grand est celui dans lequel V angle compris parles deux côtés donnés j est^ égal à la somme des deux autres angles.
On trouvera au livre VII de la Géométrie de M. Legendre, une autre démonstration de ce théorème.
La formule (4), qui donne l'aire d'un triangle en fonction des trois côtés, procure une expression ti'ès simple du rayon du petit cercle inscrit. En eflet, y dénotant ce rayon, Ton a, par Fart 88,
tang y = tang x -^ sin (^ — *• a); partant,
tang^j. = tangi -^ tangi^ tang ^ Csin {s — a) sin {s — h)s\n (s — c).
Substituant pour tang { A^ tang \ S, tang 7 C leurs valeurs (art. 64), il vient, réduction faite, et après avoir extrait la racine cubique,
tang y = ^ — ^ ^ '- — ^^ •"',
et enfin, à cause de la formule (4),
î>.*in î 2 cos i a cos î fc co5 \ c
tang y c= -. ^ j
expression qui rentre nécessairement dans celle relative au triangle rectlligne, lorsque les côtés du triangle sphérique sont infiniment petits.
Les auteurs de Traités de Trigonométrie aphérique à l'usage de l'Astronomie, donnent ordinairement une collection de formules différentielles trigonométriques , et même de formules aux diflfereiices finies : nous en démontrerons quelques-unes à mesure que le besoin s'en fera sentir; mais on pourra consulter, pour plus de détails, le 1" volume de l'Astronomie de M. Delambre, ou la Trigonométrie de Cagnoli, a* édition, traduite de l'italien par M. Chompré.
Voyons maintenant la résolution des triangles, par la voie des séries.
