LIVRE DEUXIÈME. io

qui deviendra

a sîn B == ô (sin J5 cos C+ cos B siû C), et de laquelle oa tirera

sîn B ^___ b sin C

cosB """ a — A cos C

Mais en général

^ ^'^* = — 17^ — ,co8x= :^ ,

e étant la base des logarithmes népériens, ou le nombre dont le logarithme hyperbolique est = i j par conséquent l'équation précédente deviendra

Celle-ci peut être mise sous une forme plus simple et plus symétrique ; car en divisant le premier membre haut et bas par e""^*^~', on aura pour quotient

et le second membre pourra s'écrire ainsi :

-7= — ^^ 7=r, ou plus Simplement tt-^.

L'équation (3) est donc de la forme

•— 1 fi—y .

or, si dans cette dernière on chasse les dénominateurs, et que Ton réduise, on trouvera

et si on remplace a^ j3, y par les valeurs que ces lettres représentent, on aura

a ieCK~« /> ,*e^»^-'

io4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

ou prenant le logarithme népérien de chaque membre,

aBy/— î = log -y — log D.

Maintenant, développant le second membre d'après la formule connue, log (i — x) = — - — — — g — etc., on aura

o- ICI

aa*

• cV'

aa*

-^Cl/^

Sa»

-3 Cl/-. __

puis divisant tout par a V — i > ^t réduisant au moyen de la formule

Cl/-i p— w6i/— 1

sin. TnC,

aV/— i

on aura enfin pour la valeur de l'angle B, exprimée en parties du rayon ,

5=-sin C-|--^sinaC+-|^sin3C+

Cette série élégante , à laquelle M. Delambre ejt parvenu le premier, est évidemment d'autant plus convergente, que b est plus petit à l'égard de a : elle donnera B en secondes en multipliant tous ses termes par iî".

Il suit de là que si onavailà résoudre l'équation tang x = T ""pg q * et que /a fut une très petite fraction, comme ci-dessus, on aurait

x = )Kt8in C — --sin aC+^-sin 3C —

Pour avoir le logarithme du côté c par une série qui procède suivant les cosinus des multiples de l'angle opposé, mettons au lieu

de cos C sa valeur ; on aura

et par conséquent