LIVRE DEUXIÈME. ^ io
Prenant le logarithme de chaque membre ^ et réduisant en série, il vient
alogc=3loga — -e ^ —^ « ^^ — 3^ c «^ ....
a aa' oa^ '
puis simplifiant à Taide de la formule cos mC= -
réduisant et changeant les logarithmes népériens en logarithmes
vulgaires, on a
logc = loga — ikf-cosC — Jf — cos aC — ^-^^ ^^^ 3C — ...•
M désignant le module 0,4342945. Cette série très remarquable est duc à M. Legendre.
Étant connus Vhypoténuse d'un triangle sphérique rectangle ^^ et un des angles obliques y trouver la valeur du côté adjacent à cet angle y exprimée en série.
94. L'équation qui donne le côté de l'angle droit c en fonction de l'hypoténuse a et de Pangle compris B est, d'après l'art. 56,
* tang c = tang a cos i3 ;
on a donc
tang a — tang c = tang a (1 — cos 5),
tang a + tang c = tang a (1 + cos B) j or, si on divise les deux équations l'une par l'autre , il vient
t ang g — tang c i — cos ig
, tang a + tang c "^ 1 + cos -fi '
OU
8in (g — c) ^ ^ ^
sin {a -^^ c) 8 » >
et si on change les sinus en exponentielles imaginaires , on a
Multipliant et divisant par é*"^^ ^^\ on trouve
-^-= — — ^ = tang- i B,
to6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
d'où
Mais
— tang* \ B.é~^'^~'=i — - tang* i B.- — rr^^i substituant cette valeur daus réquation précédente , on tire enfin
Maintenant si , comme dans l'article précédent , on prend de part et d'autre les logarithmes népériens, et que l'on développe en vertu
de la formule log (i + z) = z h g- — . . . . , il viendra
— tang» 1 /?e-^K-'+ i tang^ J Be^^'^-'— ^ tang^ «i Be-^^-^+ ,
et enfin
a — c=tang*îZ?sîn3a— îtang4^sîn4a + 5tang^.|^sm6a—
Cette série, que Lagrange a publiée pour la première fois dans les Mémoires de V Académie de Berlin, année 1776, se déduit aisément de celle de l'article précédent , comme on peut s'en assurer; elle n'est qu'un cas particulier d'une autre plus générale, que M. Legendre a donnée dans ses Exercices de Calcul intégral, lorsqu'il s'est proposé de développer en séries convergentes l'arc dont la tangente est donnée par une fonction rationnelle des sinus et cosinus d'un autre arc indéfini {voyez cinquième partie, pag. 238).
95. Soit généralement tangc=fl tang aj on aura, d'après ce qui précède, •
a —c =i — — sm 52a — ï ( — r - j sm 4a +
Si l'on voulait avoir a — c en fonction de c, on tirerait d'abord de réquation hypothétique, tang a = -' tang c, ou, pour abréger, . . . tang a = fl' tang cj ainsi, en vertu de la série précédente, on aurait
