LIVRE DEUXIÈME

ou

c-a = J^i-sia2c-i(^)\-ia4c+i(^) sin 6c;

ou bien, en changeant les signes,

^ — c = (^{)sin2c+^(i~Jsin4c+ i(j^' sin 6c.

Ces séries ne peuvent être utiles dans la pratique, qu'autant qu'elles convergent rapidement , ce qui exige que ~^ soit une fraction plus petite que l'unité.

Résolution d'un triangle sphérique dont deux côtés sont peu

différens du quadrant.

96. Soient a et ô les deux côtés donnés , supposés très peu diflférens

du quart de la circonférence; on propose de trouver Cen fonction

des trois côtés a, by c.

Par hypothèse

è=iQ— ^;

et comme a et jS sont très petits , Tangle C a pour mesure un arc très peu différent de c. Soit alors

C=c + :jc; on aura

sin ï C= sin j(c+x) = s\n ^ c + i x cos j c, puisque x est fort petit; et par suite,

sin* ï C = sin* i c + x sin 7 c cos i c.

L'équation exacte

e;„. 1 r sini(b+c—a)sm^(a + c — b)

oJll ■T Ky — — . I •

* amasinb '

obtenue dans l'art. 64, résout la question proposée; mais vu qu'il serait pénible d'avoir C avec une grande exactitude, il vaut mieux

io8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

calculer le petit excès x de Tangle Csur c. Pour cet efiet, l'on mettra dans l'équation précédente pour a, 6 et sin' i C leurs valeurs actuelles, et Ton aura

^. . , , • 1 T sîn*5CC0s*K* — fi) — cos*7Csin*ï(«t — fi) ^

sm^jC+xsmiccosjC=s — 2 ^ — ^ -^ ^^ -:

■ ' ■ • coscecos/3

puis prenant la valeur de x sin ^ c cos 7 c, il viendra

flc sm i C cos î c= - — ^ — — ^ — 4 ^^ — ^ — ;

• ■ cos M cos fi '

mais

cos a cos i3 = 1 cos(flH-/3)+7 cos(a— iS)=cos* i (a— jS)— sin* i (ct4-/3) ,

puisqu'en général cosp = 1 — asîn* ï /? = acos* ip — 1 ; donc

C0S«C0Si8 ^ ^'

Telle est la formule à laquelle M. Dclambre est parvenu, par une voie différente : en prenant les petits arcs pour les sinus, elle rentre dans celle que M. Legendre a donnée^ c'est-à-dire que l'on a, d'après cette hypoûxèse,

:v = i (ct+iS)- tang 1 c — i («— /S)* cot i c (2).

3« Solution. On parvient plus simplement à cette formule ainsi qu'il suit. D'abord à cause de

Ccos c — COS a cos b ainasinb '

on a

cos r — sin « sin fi cos C'^mfi

COSC:

cos « cos fi 1 ~ («* -f- /8*)

cos c — ajS + ^ (a* + /3») cos c = cos c — X sine,

en ne conservant que les quantités du second ordre j et de là

^ ^fi — j i** + fi^) coa c

sin c

D'ailleurs à cause de

cos c = cos* 7 c — sin* j c, et de

Aj8 = flt/3 (sin* f c + cos* î c),