LIVRE DEUXIÈME. ut
et
+Ktang46+cot«iJ]tang4csin3^— . . .
Ces deux séries régulières, dont la loi est évidente, sont dues à Lagrange : elles convergent d'autant plus rapidement, que c est plus petit par rapport aux deux autres côtés.
98. Dans la pratique de la Géodésie , il est plus simple d'employfer les arcs que leurs moitiés. Pour se conformer à cet usage , on remarquera qu'à cause de
, , , sinb . M. i i sïn b
tang ^6 = — ; r, et cot ^6=: 7,
*^ • 1 + cos 6 ' ■ 1 — cos 0^
on a
tane* -^ i = '~^^ col» ^ h—i±^2Lt
tang^^fe= / ~^ -rr;.sln&, cot^ î ^ = / "^ ^^^ tt, * sin b.
et par suite ,
tang ib — cot 7 i = — acol ft,
tang* ib+ cof i- è = 2[i + 2Cot* b] ,
tang3 ^ ^ CQI^3 2 h—^ acot *[3H-4col' è],
tang ib + cot i6=-4-g,
tang-ii-cofii = ~^^,
tang3 ^ i + cot^ i i = ~ [1 + 4cof i].
Substituant ces valeurs dans les deux séries précédentes, elles s« changeront en celles-ci :
300 — ^jB=:^+atangicsin^coti+7tang*fcsina^.[i+2Col*i]
+|tangHcsin3^.coti[3H-4cot»6],
C=a î^sin^ + a î^^-*4^8ina.^.cot 6
sin b *^ sin
On peut d'ailleurs ordonner ces séries par rapport aux puissances de l'arc c; car on a
tangic = 5 + iQ\ tang4c=^, tang^ic= ^. ..,
lis TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
et, substitations faites, il yicot
aoo' — i7=^4*c3io^cot Ô+7 Csin a-^.(i + acot» b)
' + -jV c* sÎQ 3^ cot b (3-|-4cot» b) + î4 c* ain ^ cot è ,
C= -r^sin ^ H- i ^ sin 3u^. cot ô H-iV -^ sin 3-^ (1 + 4cot' J)
Enfin , à cause de sin 2u4 = 23ia u4 cos u^, et de sîn 5^ = 5sîn -^
on a
(I). 200*^ — B = u^+c sin -^ cot i + ï c' sîn^cos^.(i+ acot'i)
H-^ c^sin^cos*^cot/>(3-f-4col*&)
— ^C^siD-^^COt6(l+2COt*è),
(II). C= -T^-rsin-^ + -At sin ^ cos ^^ cot b
^ ' sin ^ ■ sin a
+ î ^-Tj^sin^cos*-^(i+4cot*i) — ^^^sm^coVb.
Il reste, pour compléter la solution du problème dont il s'agit, à trouver le côte a en fonction des mêmes données &, c, -^. Or, de réqualion
cos a = cos b cos c + sin i sin c cos ^
on déduit aisément celles-ci :
sin' i a=sin*76 cos^c +cos*7 isin*^ c — asin^i cos^ccos ^b sîn \c cos^, cos*ïa=cos*jicos*7C+sin*^6sin4c+2COsiécosxCsin^isinîCCos-^j
d'où Ton voit que sin - a peut être considéré comme le troisième
côté d'un triangle recliligne dont on connaît les deux côtés
sin Y b cos j c , cos^ 6 siii î c, et l'angle J compris. Appliquant donc la méthode de l'art. gS, on a, en logarithmes vulgaires ,
logsinia=log(sini6cosic)— itfj^cos^— itf^^J^
et
logcos.^a = log (cos : ftcosic)+ilf ^^l^cos ^jf ^jf cos 2^+...
ilf étant le module 0,45429455 par conséquent en soustrayant, l'on a
LITRE DEUXIÈME. ii5
en logarithmes népériens
log . tang ^ a = log . tang 7 6 — tang f c [tang 7 & + cot ^ i] cos A
+ 7 tang» \ c [tang* ^b — cot* 7 b] cos 2 A — j tang4 c [tang^ i b+coV i b] cos 3^+
Cette série n'est pas sous une forme commode pour procurer la valeur de a en une autre série qui procède , comme les deux précédentes , suivant les puissances de c. Cependant si on voulait en déduire cette valeur, il faudrait supposer d'abord
ia=7è +P tangue 4- Ç tang' 1 c + iî tang^ ^ c ,.
P, Q, i?... étant des coefficiens indéterminés, puis prendre la tangente des deux membres, ensuite les logarithmes, et développer en série suivant les puissances de tang 7 cj ce qui donnerait avec uoi peu d'attention ,
log. tang 7 a= log. tang 76 + tang \ c [tang 7 i + cot | è] P
H- tang* i c^Q (tong \ é+cot i i)+Ç(tang4&-cot46)]]
+ tang^ \c^R (tang ^ è+cot ^ J)H-Ç*(tangi6+cot ^b)
H- PQ (tang* ^ * — cot» 7 *) 4- -^ (tang^ { b+co\? i *)].
Alors en égalant terme à terme cette valeur avec la précédente^ on aurait, après diverses transformations,
P = cos A y
.Q=:cotèsin'^,
iî = a (^ + cot' &) cos ^ sin* u^ + j cos ^ , * et définitivement
(III). a=b — ccos-^+7C'cot6sîn*^+^c^ cos^ sln»^ (j+cot'i).
U Ëmt convenir que cette solution, malgré son élégance , est extrêmement laborieuse; mais en voici une autre purement élémentaire qui tf a pas cet inconvénient.
