LIVRE DEUXIÈME. i

faisant la même opération sur la troisième formule, ou, ce qui est plus simple , soustrayant log cos x de log sin Xy il vient

log.tangx = log X + -3- + ^- + -^ggg^ + etc.,

séries dans lesquelles le module Jf = o,434a9 ... a pour logarithme

vulgaire

log ilf=: 9,63778 45ii3 00537.

On abrégera de beaucoup les calculs en évaluant chaque terme séparément à Taide des logarithmes ; mais il faut faire attention de réduire x en parties du rayon, si cet arc est donné en degrés, ou eu minutes, ou en secondes, afin de le ramener à Thypo thèse de la formule ; c'est-à-dire qu'il faut le diviser par R% ou iî', ou if'. Comme l'opération est beaucoup plus commode et plus prompte par les logarithmes, on fera, dans ce cas, usage des valeurs suivantes :

log /?•= 1,7581 a a63a4 0917a, log iî' = 3,53637 58837 93816, logi?'=5,3i443 5i53i 76469.

Les séries ci-dessus sont tellement convergentes, que si l'on se borne à dix décimales, et que x soit plus petit que 6'*7'', on pourra s'arrêter aux termes en x^ #

Des formules connues

x = sm x(i+^-^. + ^.-^ + ctc.), 5C = tang X (1 — j tang*x + j tang^x —etc.);

on déduit par le même procédé ,

log x = log sin x + -g" sin* x + ^-- sin* x H- etc., log X = log.tang^ — -5- tang* x-h - — tang* x — etc. ;

ce qui donne le moyen de trouver l'arc dont le logarithme sinus ou le logarithme tangente est donné.

M. Legendre substitue aux formules précédentes d'autres formules plus avantageuses, lorsque l'arc passe une certaine limite. On arrive à celles-cien développant en série l'expression générale log . sin (a-hx). 1. 16

idf TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Or^ si pemr abréger, Von &it lo^mka^zz^lQ tbéorème del^aykr

donnera

mais les coefficiens dififêrentiels devant 8e rapporter aux logarithmas vulgaires ou de Briggs y on a

partant, Iogsm(a+5c)=logsma+Jfcrxcota(i — -Aj + gj^)--etc.

Il sera tout aussi facile de trouver que

logcos (a4-x)=logco8a— Jl£»tanga(i 4--^ + g^) — etc., Iogtang(a+*)=logtanga-f-?-;f*(i — ^«cotaa-|-fx*H-|x*cot*2a)+etc.

On emploiera ces formules, quand le logarilhme du sinus^du cosinus ou de la tangente tombera dans les tables entre deux arcs consécutife a^a-^rh.

102. Proposons-nous maintenant de déduire x de l'équation log. tang {a+x) — log tang a z=:r=:2Mp (i).

On regardera x comme une fonction dep^et puisque ces deux quantités deviennent nulles en même tems, on aura, en recourant au théorème de Maclaurin,

série dans laquelle les coefficiens difiërenliels doivent correspondre à X = G. Mais en général, par les difiërenciations successives, l'équation (1) donne

^= 8in(aa+3x), ^=2Cos(2fl+afl:).^= 8in(4a4-4«),

^=4co8 (4a+4x).^=4sin(aa+ai>c)cos(4a+4x), etcj