LIVRE DEUXIÈME. wS

par conséquent, Êdsant x:=o dans ces coeffîciens, il vient défîu* tirement

X =:/7 sin sa + ^ sin 4a + 3 siû aa cos 4a + etc. (a).

Si on avait à résoudre Téquation

log sin Ça+x) — log sîn a=:r (5),

on ferait r^=^Mp cota^ et en passant aux différentielles successives, on aurait

T- = tang (a + x) cot a,

é^x dx cot a

dp* 4p * *ï^* (a + x)'

^x ^p cot a , scot a sin (a 4^ x)

flp' c^» ' cos* (a + ^) cos^ («+«3c) ^

mais comme il &ut ensuite faire x = o, dans ces coefficiens difie*rentiels , on a plus simplement

(ir\ /ct*j\ a /fPjcX a. a . 4.asin*a ^ V

d5p/ "" ' \àf3^/ sin aa' \^/ sin'.aa ' sin*.aa ^

delà

x=pri4--^4-^r?— (i+Min*a)l (4),

•*^ L sin aa * 3sm*.aa^ ' ^J ^ ^'

en se bornant aux termes en /?'.

xoS. Les deux questions que l'on vient de traiter sont relatives aux tables trigonométriques. Il en existe d'analogues pour les tables des nombres; les voici :

Soit log ^ un logarithme donné, dont il &ut trouver le nombre^ correspondant, au moyen de grandes tables de logarithmes. On choisira, parmi les logarithmes de ces tables, celui dont les quatre ou cinq chiffres décimaux soient communs avec log A^ et Ton aura

log-^ = Ioga + r.

Passant de là aux nombres, il viendra

e désignant le nombre dont le lo^rithme hjrperlx^que ou népérien =3 1, et ytt étant le modale qui ^ert ^ppur passer des logarithmes . ordinaires aux logarithmes hyperboliques, c'est-à-dire que..»;

ia4 TftAITÉ DE GÉODÉSIE.

mais en général

e^"=i— mH 5 H 5-7 — etc. ;

• i.fl i.fl.3 ' 1.11.3.4

coDséquemmen t ,

enfin ^ prenanl le logarithme vulgaire de chaque membre, on a log(.^— a)=log(aAtr)+ir+î2^Atr* — ^^it^^r*+etc. (5).

S'il s'agissait de la formule

log-^=loga— r, on aurait cette série ,

log(a— ^)=log(ait*r)— ir+îî^/t/-— T3?3^)u»/^+ctc. (6).

La convergence de ces deux séries permet le plus souvent de s'arrêter aux termes en r.

1 o4. On résout analy tiquement le problème inverse avec la plus grande facilité. Ënefiet, soit ^ un nombre donné, dont on demande le logarithme exact jusqu'à la quatorzième décimale : on choisira^dans les grandes tables , un nombre a qui ait les cinq premières ^gures communes avec -^, et l'on fera

après quoi l'on aura

log ^ = log a + Jtf (^ — ^ + ^, — etc.) (7).

On suppose, dans cette circonstance, que Ton n'a à sa disposition que la table ordinaire des logarithmes à vingt décimales , pour tous les nombres depuis 1 jusqu'à 1161 ou 1200; alors pour trouver le nombre a, on cherchera dans la Table des diviseurs les plus simples des nombres, par M. Burckhardt^ un nombre très peu difiërent dt