CHAPITRE V

De la réduction des angles cP un plan à un autre plan.

Réduction à Phorizon.

lag. v^cjAND les angles de posttioD ne sont pas situés dans le plaa horizontal mené par le lieu de Tobservateur, et que les lunettes de l'instrument dont on se sert restent constamment parallèles au limbe» oomme dans les cereles répétiteurs, ces angles de position doivent être récrits à I%[0ri2on de leurs sommets respectif. Les âémens de cette réduction sont, pour chaque angle, les distances zénitales des deux objets observés.

Soit z (Bg. 19) le zénit de Tobservateur, qui du point C a observé Panglc BC^ incliné à Thorizon ffCjf.^l angle aura, pour/;/tH jection horizontale^ Tangle BtA' qu'il s'agît de trouver, et qi& est formé par les plans verticaux AC^\ BCB^ dans lesquels tfont rftués respectivement les signaux AA\ BB'. Mais l'angle BCLi' est le même que l'angle sphérique z du triangle zàb formé par trois arcs de grand cercle, dont l'un za est la distance au zéoit de l'objet u^; l'autre zJ, la distance au zénit de l'objet B) et le troisième aft, la mesure de l'angle observe Bdd. Donc, si iyi' sont les distances au zénit connues za^ zbj et que Csoit l'angle de positionner, on connaîtra les trois côtés du triangle sphérique abz] ainsi, «a se conformant à la notation actuelle, l'angle z sera donné par la formule de l'art. 74 , savoir :

siujz

S désignant la somme des trois côtés C, <f, <r', et le rayon des tables étant égal à l'unité.

Soient

imgle de position^ C== 65',456 dist. zénitale de ^ , «T s=: 86 ,a 5o dist. zénitale de i? , /' 3= 85 ,4oo

on aura somme s =137 ,106

. i somme - = 118 ,553 118^,555,

cr= 86,25o ^= 85,4oo,

î — cr= 3a,3o3î 5— 4^'= 35,i63î et Topération , par les logarithmes , sera log sin (^ — . cT) = log sin 32',3o3 . . . 9,6865639

log sin (i — cT') = log sin 33 ,i53 . . . 9,696832»

compl. log sin cT . 0,0102096

compl. log sin <r^ 0,0115224

log sin ^z 19,4051280

moitié, ou log sin 7 z 9,702564ossi 53^,6392;

ainsi, la projection de Fangle C, ou cet angle réduit à l'horizon = 67^,2784.

n est bien rare que les distances au zénit soient aussi petites que dans l'exemple ci-dessus; et si elles ne différaient de l'angle droit que de 2 ou 3 grades, la formule précédente deyiendrait trop pénible à calculer, pour avoir avec exactitude la projection de l'angle ob-serve. Il vaut mieux alors chercher la réduction, qui n'est que de quelques secondes. Cette réduction s'obtient par la formule suivante:

x = (ioo^ — ^^^y.tang^ Csin i"(i=i^y.cot^ C.sin 1",

qui n'est autre que celle (2') de l'art. 96, dans laquelle on a mis loo* — cT pour «, et loo* — J^ pour /3.

Supposons qu'un angle observé ait pour valeur C = 56^,9662 , et qu'il soit compris entre deux objets dont les distances zénitale» soient

cT = 98',253o

on aura «T + J^ = 197 ,5o55

loor - 1±£ = 1,347a" = p, t^ = 0,5997" = q.

1*' terme positif. a* terme négatif.

log 8În i^ = 4,1961a 4,ig6ia

alog p =r 8,a5886 alog q = 7,ao347

log tang i C = 9,68111 loçcoti C=o,3i889

•+-a,i36o9= i36**,85 — 1,71848 = 5a*,5oî

réduction. • 4- 84,55

angle de position. . . • 56',965a ,00

angle réduit à rhofizon, 56^,9736,53.

Le calcul de cette réduction s'abrège beaucoup au moyen des tables I et II, qui se trouvent à la fin de cet ouvrage. La première a pour argument l'angle observé, c'est-à*dire le nombre qui sert pour entrer dans cette table , et vis-à-vis duquel on trouve un des Êicteurs des termes de la réduction. La seconde table a pour argument aoo«^ — (J^ 4- J^) ou cT — cT', et donne les autres facteurs des termes dont il s'agit.

Par exemple, avec Tangle observé, qu'on vient de réduire, les colonnes de la table I, intitulées tangentes et co tangentes donneat

+ 3o^54, — i3a",7iî

et avec les angles aoc — i^+J"'), et cT— cT' la table II donne les deux autres facteurs

multipliant respectivement par ceux-ci les deux précédens, les deux termes de la réduction seront

+ i36",8a, — Sa^ag;

réunissant ces deux produits, qui sont toujours de signes contraires, on aura, comme ci-dessus, pour la réduction totale , -f- 84'',55.

Nous avons donné des tables toutes semblables, calculées dans le système sexagésimal; elles sont extraites de l'ouvrage de M. Delambre. Lorsqu'on voudra en faire usage , et qu 'on aura observé un angle avec un cercle divisé en grades, on réduira cette augle en degrés, ainsi qu'il suit :

Soit proposé de convertir en degrés sexagésimaux

Fangle de ioi',6695o

on retranche le dixième 10,166950

on a pour reste en degrés et décimales ...... gi^'^ôoaSSo

multipliant la fraction par 60, on obtient ^ 91 ,3o',i55

multipliant encore la fraction décimale par 60^ il

vient enfin en degrés, minutes, etc 9i*3o'9",i8.

S'il s'agissait de résoudre le problème inverse, on s'y prendrait de la manière suivante. Pour convertir en grades, par exemple, l'angle de 9i'*5o'9'',i8, on réduit les secondes en fractions décimales de minutes, en divisant 9", 18 par 60, et il vient . . • 9i'3o',i53; on réduit les minutes en fraction décimale de egrcs, en divisan|de même par 60, et Ton trouve. .... 9i%5o255 on ajoutée neuvième •. 10 ,16696

et Von a en grades 101^,66950

Ces deux règles sont évidemment fondées sur ce que le grade est au^ degré dans le rapport de 10 à 9.

Lorsque les distances zénitales doivent être employées , comme dans l'exemple précédent, pour réduire les angles à l'horizon , il est nécessaire qu'elles soient observées avant, ou immédiatement après ces derniers, afin qu'elfes se rapportent autant que possible aux mêmes circonstances atmosphériques , quoiqu'une erreur de plusieurs secondes soit à cet égard de peu de conséquence.

On conçoit aisément que lorsque les trois angles d'un triangle sont réduits à l'horizon, ils représentent ceux d'un triangle sphériquo dont les côtés sont compris entre les verticales des trois signaux observés, si toutefois les observations ont été faites dans l'axe même de ces signaux : autrement il faudrait réduire les angles horizontaux aux centres des stations , afin qu'ils jouissent de cette prophétie; c'est ce que nous enseignerons bientôt.

Réduction des angles horizontaux aux angles des cordes.

i5o. Il est des géomètres qui, à l'exemple de M. Delambre, réduisent les triangles sphériques aux triangles rectllignes formés par les trois cordes, et déterminent, par le moyen de ceux-ci, les distances respectives des objets. Celte méthode > qui a tout le degré I. :i3

ijB TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

d^exactitude qu6 Tofl peut désirer, exigé que Ton rédoièê d'abord fes angles horizontaux aux angles des- cordes, et que Ton substitue^ei^ suite à la V/]f7z^ ^otf^^/ç^/^^ prise pour base , la distance rectifigne qui joint ses extrémités (art. io8). Dé ces deux problèmes , le prender est le seul qui nous intérçsBe pour le moment, et se trouve résola à l'art. 64 : car soit le triangle sphérique ^BC (fig. ao) qu'il faille réduire au triangle rectiligue ^'B^C \s\ a^h^ c sont les côtés da premier, opposés aux angles ^, jB, C, et a\ b\ c'ies côtés du second, opposés aux angles A\ B\ C\ que du point C, comme centre, on décrive avec un rayon = i, les arcs z'a', z'/3', a'jS', et qu'on mène aux arcs 6, a les tangentes ou les horizontales CT, CT\ l'angle de dépression TCB^ formé par une corde et une tangente, aura pour mesure - a, ou la moitié de l'arc connu ^C. De même l'angle de dépression TCA sera = ^ i. \ 4!^

Cela posé, l'arc z'j8'=z= loo' — fa, l'arc zV =5: loo"^ — 7 J, et l'angte borizontal TCT est donné; ainsi dans le triangle sphérique z'a^^'y dn connaîtra deux côtés et l'angle compris : reste donc à trouver le troisième côté a'^\ ou l'angle C qui est l'angle horizontal réduit » l'angle des cordes. Mais sans faire usage de la formule de l'art. 64^ laquelle serait d'ailleurs peu propre à donner Tangle cherché avec précision, vu la petitesse de a et de 2^, il est dair que la question » résoudre est précisément l'inverse de la précédente. Si donc on dénote par oè la réduction cherchée, et par C l'angle horizontal ccnwu^

on aura (art: 96), et à cause de — • «1 = - , — /S s= -,

4)=-i(î±i)^ang^Csini'' + i(^)^otiCsini'V

formule dans laquelle a et 6 sont toujours de même signe. Pour en Ihire l'application, il faut commencer par calculer approximativen)^nt les côtés des triangles considérés comme rectilignes, en supposant que les observations ont été&ites aux centres des signaux, ensuite convertir les côtés a et 6 en minutes centésimales.

Si, pour se conformer aux notations ultérieures, on désigne a par A' , et 6 par K\ et qu'on représente par G la longueur du grade moyen pour le lieu où Ton opère ; ces arcs seront convertis ^ minutes centésimales, par ces formules

ico\A' . ico\K'

LPTBE TROISIÈME. 179

?Mat8 cette ^oonversiooi pour l'objet qu'on se propose^ sera suffi* aamment exacte en supposant la Terre sphéâque, etpar çQuséquQht 'p. de ,KK>Quo^0i.ètres;,donc alors

^ lOQO' lOOO

Suppose»»^ ptfir 9iîeinple^ K = a4i lo^,

^' = a593o», et angle observé réduit à l'horizon, ou C=68',o3346; on aura

et par auite

\ :OU,P?= la'jQÔ

5" ouP'=.ia,96

P + P'= a5,oi P — P'=5= 0,91.

: Maintenant ayecies nombres P 4- P', P— P', o» trouvera dans

la table Il^'les'&cteurs 0,059, o,Qpo

avec rangle horizontal '68',o3 ... on trouvera dans la table let aux colonnes intitulées tang, eut, — • 37*^,68 + io7'\65;

multipliant ces quantités par ordre, on > aura,. pour. le prenuer et le deuxième

terme delà i;édaction. -^ i''^47 + o"*/)©.

Or, l'angle horizontal ........ C= 68',p554^

donc, l'angle rédwttaupjaa des cordes, ^^^

ou C= 68',o333,i3.

M. Delambre a fait. des applications de .cette méthode dans le calcul des triangles dé la méridienne. Nous reviendrons sur ce sujet; cependant nous ferons i^bserter, pour 1& moment, que l'évaluation dea arcs en minutes se ferait .avec, plus 'de précision, si l'on connaissàit.lêur véritable rayon de courbure; mais , dans l'ignorance où l'on est à cet égard, il convient de prendre le degré de la sphère dont la surface s'écarte peu de celle- de la Terre, dans le lieu de r(jibôçr)ration. Of , on irççpajpar|a.SHite, qiie le.degrç moyen conrir

i8o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

déré comme la 5G(f partie de la circonférence entière, est, en IVance^

de 5701 5' = D'y en sorte que le rayon de la Terre exprimé en mèm^

mesure, ou / ac: 1^2l-£j ^ = 3,i4i59a étant le rapport de la demir

circonférence au rayon. Il est clair que Ton a aussi /= ^^^ , puisque les arcs semblables sont proportionnels à leurs rayons.

Partant, log . rayon en toises = 6,5i4iii7 ajoutant le logarithme constant 0,2898200

on a log . rayon en mètres = 6,803931 7 ;

résultat qui diffère peu de celui-ci 6,8o388oi , que Ton trouve en considérant le quart du méridien sphérique de dix millions de mètres*

Réduction d'un angle pris dans un plan à un autre plan incliné

à Vhorizon.

iSi* Le centre de l'instrument et le point de mire n'étant pas ordinairement les mêmes dans chaque station^ c'est ce qui est, en partie , cause que les trois an^es d'un triangle rectiligne difierent de deux angles droits. Si donc l'on ramenait au plan des trois centres des stations, les angles observés entre les sommets des signaux, ces angles ainsi corrigés serviraient à Ëiire juger du degré d'exactUode des observations ; mais la réduction dont il s'agit pourrait aussi fidre connaître l'efict de la réfraction terrestre sur les angles observés.

Soient deux signaux AA\ BB! ( fig. 19) observés du signal zC. Si C, a', V sont les centres des stations, et que l'on ait relevé l'angle ACB=:Ci l'angle a' C V sera dans le plan des stations, et l'exoèa de l'angle horizontal sur l'angle observé sera, d'après l'art. 96 ,

jc =p* tang jC — ç' cot î c (1).

L'angle a'CV étant très peu différent de ACB^ on aura de même

x' =y tang ^ c — q'rcol ^ c (a),

%' désignant aussi l'excès de l'angle horizontal sur Fangle a'Cb'. Maintenaot il est évident que puisque ACB-^-x =? a^CV^^ x'^ on a

ainsi, les équations (1) et (a) étant soustraites l'une de Vautre, il

Tiendra 9 pour Texpression de la difierence cherchée ,

»—x' =(/?'—/>•) tang i c— (ç-— ç'O cot i c (5).

Mais si les angles sous lesquels on voit du point Clés hauteurs .^a'^ Bb'eont représentés par J'Hy S" H' y les hauteurs angulaires des points de mire ^ et i? au-dessus de l'horizon étant toujours désignées par JET, H'^ on aura, par rapport aux hauteurs des points de sta^ lion a% 5',

D'ailleurs

et si l'on fait attention que

l'équation (5) deviendra, en réduisant en secondes,

Cette formule, comme nous l'ayons déjà dit, peut servir à évaluer l'eflet de la réfraction sur l'angle observé, et cela en y mettant pour S'il et J'H' la valeur de cette réfraction déterminée à priori par une méthode que nous exposerons à la fin de ce livre. Nous ne donnerons aucun exemple numérique à ce sujet.

i«a THAirÉ DE GÉC»IÉSIE.

tati^gsaaÊSteÊBBB^Bmi^Kmmam*