CHAPITRE Yl
De la réduction des angles au centre de la station.
XSemtres'-çisibles et accessibles.
1 3a. 1 OUTBS les fois que ikmiobae9f:e«i centre même de la station, on a immédiatement les angles sous lesquels on voit de ce point les distances qui joignent les extrémités des signaux ; mais il arrive soa-> veut que Tinstrument ne peut être placé.que'hors.de Faxe du signal pris pour centre de la station :.dans ce cas, il est nécessaire d'j réduire les angles observés.
Soit C (fig. ai) le centre de lactation, et O celui de l'instruinent, ou le sommet de l'angle observé AOB. On\demande la mesure de l'angle A(^ qui est la réduction du premier.
Faisons les données
:AOBzszO^ BOCzsiy^ CO = r^ BC=^G, ^C^D,
etl'iiQgle inconnu ^CB = C.
Puisque l'angle extérieur d'un triaqgle est égal à la somme des deux inlcrieurs opposés^ on a, par rapport au triangle I^O,
et par rapport au triangle jB/C,
u4IB—C-\-CBO.
Égalant ces deux valeurs, ou obtient
C=0 + I^O—CBO.
D'un autre côte l'on a
siu a^O = L!l!L(g±2) , sin CBO ^'-^i mais les angles CAO^ CBO étant toujours fort petits, leurs arcs
LITRE TR0I8IÉ&CB. i83
penrent être pris pour leurs sinus; donc la réduction en secondes est
c^Q^i ^yt-y^ -pig^ (1).
Dami Gsini ^ '
L'usage de la formule précédente ne peut, dans aucun cas , être embarrassant, pourvu que l'on ait égard aux signes de sin (O 4-^) «tde sinj^; ainsi le premier terme de la correction sera positif si l'angle O +y est compris entre o et aoo', et il deviendra négatif, s'il surpasse aoo''; le contraire aura lieu dans les mêmes circonstances, pour le second terme qui dépend de V angle de direction y.
n est remarquable que D est la distance de l'objet à droite, et G la distance de l'objet à gauche. Quant à l'angle^, c'est toujours celui sous lequel paraissent le centre de la station et Fobjet à gauche; ainsi, quand on a mesuré l'angle ^OBy la lunette supérieure est dirigée sur l'objet à gauche J?, et l'inférieure sur l'objet à droite u4) alors celle-ci restant fixe sur^, si l'on &it mouvoir la lunette supérieure dans le sens de la graduation , jusqu'à ce que son axe réponde au point C, l'arc qu'elle aura parcouru sur le limbe sera la mesure de l'angle j^9 qui doit toujours se compter suivant l'ordre des divisions de l'instrument, et dont la valeur peut aller depuis o jusqu'à 400^.
Nous supposons ici que la graduation est numérotée de gauche à droite; mais si elle l'était de droite à gauche, comme sur les cercles allemands, il faudrait changer Z? en G, et réciproquement, dans la formule (1); parce qu'alors jaserait l'angle entre l'objet de droite et le centre de la station. On pourrait aussi , sans opérer ce changement , se borner à prendre pour j" son supplément à quatre angles droits, diminué de l'angle O.
La formule (1) se réduit à un seul terme, lorsque l'une des distances 27, 6 est comme infiniment grande par rapport à r; ainsi, selon que A omB sera le centre d'un astre , on aura simplement
Gsm 1 ' D 8m 1*
De plus, on aurait C — = o, si^eti? étaient deux objets célestes, ou bien si A étant un astre et B un objet terrestre, le centre Odu lieu de l'observation était en même tems dans la direction G, et vice versa, auquel cas j' = o, ou^ = — O.
i84 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Mais sans supposer infinie aucune distance 'D^ Gy on peut encoreavoir C — O = oj alors
alny . G siniO+y^ — D'
d^un autre côté, dans le triangle ^BC^ on a
sin ji j^ êin A G ^
smT nia {A + C) ^*
donc, à cause de C=: O, par hypothèse, on conclut
s my ^^ un A S7(C +y) sinC^+C)'
développant les dénominateurs, il vient
8În y sîn^
«in Cco9^ + cos Csiny ainAços C-^cosAsiuC^
OU bien
sin Ccot^ + cos C cos C -f- cot AainC^
donc
tang j^ = tang ^ = tang (aoC + -./);
ce qui signifie que les quatre pcnnts ^^Bj Cy O sont sur une même circonférence.
Il suit de là que pour que l'angle réduit soit égal à l'angle observé, il suffit de se placer de manière à ce que^ == ^ ou =: aoo* + ^, C'est-à-dire sur la circonférence du cercle circonscrit au triangle ^£C. Pour éviter tout tâtonnement à cet égard,M.Delambre observe etdérnontre (page 24, Déterni, d^un arcduMérid.) que l'on peut se placer sur la tangente au cercle ^BC, menée par le point Cet le plus près de ce point qu'il sera possible, et même à plusieurs mètres sans inconvénient; mais pour cela, il faut connaître l'un des angles >^, ^, afin de pouvoir déterminer la direction de la tangente.
i53- Si plusieurs angles consécutifs O, O', O", O'" étaient situé» dans un même plan, oblique à l'horizon, si l'on veut, ou les réduirait tous au centre C , à l'aide du seul angle de direction ^ et de la distance au centre r : alors, par rapport a l'angle O', l'angle de direction serait;
par rapport a O ,
par rapport à O^^
L'angle O"' étant censé achever le tour de ITiorîsÊon, là réduction qui lui convient doitêtfc égale à la dorame de toutes les autres réductions prises avec un signe contraire. Pour le prouver, soient 6, c', e", ^ les réductions correspondantes des angles Ô, Cy, O", O'" j on aura
tfoù
ff
Or, par hypothèse, les angles C, C'..., aussi bien que les angles O, O'... font un tour d'horizon; donc Féquation précédente ne peut subsister , à moins qu'on n'ait
donc,
Enfin, quand même les plans des angles 0\ O^. . . seraient difiçremment inclinés à l'horizon , les élémens^ et r pourront seuls être employés, pourvu que l'angle O soit horizontal; mais avant de Mt% usage de la méthode actuelle, il faudra réduire à l'horizon les angles O^, 0'^ . . . Au surplus, quand les objets sont fort prés de l'horizon de l'observateur, ainsi qu'il arrive toujours dans les triangulations du premier ordre, il est indifférent de réduire d'abord à l'horizon l'angle observé , ou de le réduire au centre de la station pour le ramener ensuite au plan horizontal.
i34. Nous avons déjà indiqué la manière d'obtenir l'angle de direction ; cependant il est utile ici de &ire connaître plus particu* lièrementle procédé que l'on suit dans cette circonstance. On détache la lunette supérieure pour la diriger sur le centre de la station , en fixant deux points marqués sur te haut du tube , l'un près de l'oculaire, l'autre près de l'objectif; mais lavis du réticule et celle de la petite pièce cylindrique qui entraîne le verre objectif, ont ordinairement assez de saillie au-dessus du tube y pour servir de points de mire.
Supposons, pour fixer les idées, que cette lunette, au moment da
i86 XBATTÉ DE GÉODÉSIE.
départ, marque g75i'',3, et qu'arrivée dans la direction du centre, après avoir marché de gauche à dfoite, c'est-à-dire suivant Tordre des divisions du limbe, elle marque. . . ioo45',3a
Qu'au moyen d'un second mouvement donné à la mâme lunette , en la ramenant sur le centre de la star tion, elle réponde à. ioo45 ,a8
Qu'après un troisième essai tout semblable, elle marque. , • . « ioo45 y3o
Prenant le tiers de la somme de ces trois quantités,
on aura ioo45 ,3o
De ce nombre, retranchant celui du point de départ, 9761 ,ao
La différence sera l'angle de direction j^ =394^, lo.
Il &ut bien prendre garde, à chacun de ces essais, que l'instrument ne se dérange : on s'assure qu'il a gardé sa position primitive , lorsque l'axe optique de la lunette est resté dans la direction de l'objet à droite: s'il s'en était écarté, il Êiudrait l'y ramener en tournant la vis du tambour, er diriger dé nouveau la lunette supérieure sur le centre de la station. Quelqu'attention que l'on prenne pour avoir la mesure exacte de l'angle de direction, il reste toujours à cet égard une petite incertitude, mais elle n'est d'ailleurs d'aucune conséquence. Il n'en est pas de même do la mesure de la distance du centre de rinstrument à l'axe du signal : celle-ci doit être prise avec beaucoup de soin, et l'on peut se servir à cet efiPet d'un cordeau que l'on dirige dans le sens de la lunette supérieure dont l'axe répond au centre de la station.
1 55 . Nous ferons remarquer en outre que si la lunette supérieure était excentrique, il faudrait, à la rigueur, faire une correction à Fanglede direction observé; mats les cercles actuels en dispensent.
Passons maintenant au calcul de la réduction au centre, et pour cela donnons à l'équation (1) la forme
- r f sin (0 +y) sinyl
* ~ siu i" i D TTr
en faisant € = C — O.
Soit l'anglo de position O = 48^,756, l'angle de direction y = 294,1,
la distance au centre r = 3*,a67,
la distance à l'objet de droite D = lySaS*, celle àJ'objet de gauche G =s ao545.
i**" terme àe la correction. a* terme*
c.logsini* 5,8o388
log r o,5ia89
log,8in(0+^)— 9,89310 log.sin^... — 9,99807 c.logjb 5,76637 c.logG 5,69154
— 93^,483 — 1,96607 + ioi*.465 + a,oo63x
