première partie
réduction H- 8 ,98a
angle observé 48^,7660 ,
angle réduit au centre 48 ,7668 ,98a.
Ce calcul supptfse que les distances à l'objet de droite et à celui de gauche sont connues, du moins par approximation. Ces distances peuvent se prendre sur le canevas trigonométrique dressé d'après une échelle, et sur lequel les angles construits à l'aide d'un rapporteur représentent ceux de position; ce qui est suffisamment exact. Mais on évite cette construction préliminaire en résolvant tous les triangles supposés rectiÙgnes , comme si les observations avaient été faites aux sommets mêmes, après avoir toutefois réduit à aoo^ la somme des trois angles de chaque triangle (art, 100). Ce calcul, dans lequel on peut n'employer que les logarithmes à 5 décimales, s'efifectue avec beaucoup de promptitude {voyez la résolution des triangles).
La réduction au centre s'obtient %ussi à l'aide d'un seul terme ; en efibMjl| formule précédente pouvant s'écrire ainsi :
^^ r A^ r.G.8in(Q+j f) — r.D.aJDjf
et le triangle ABC ( fig. ai) donnant
on a, à cause de O ss C, du moins à peu de chose prés,
^ D.ûaA
^ ~ %ïa{A+Oy
et par suite
i8d TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
r — o ou i = '^ "° ^'"^ ^^ +^) — ^«°y ^ (^ + o) i
puis développant et réduisant en secondes ^
rsin O.sin (u/ — y)
( SES — =r — r ^ . J'" •
Quoique cette formule soit moins rigoureuse que celle dont elle dérive, elle est cependant d'une exactitude sufiBsante. Il faut bien remarquer que le sommet de Tangle ^ est l'objet à droite. Il est bien rare qu'on se trouve dans la nécessité d'en faire usage.
Centres invisibles des tours à bases circulaires.
i36. Lorsqu'on observe au dehors ou au dedans des clochers , des tours, etc. , leurs centres sont souvent invisibles ou inaccessibles. Voici les moyens les plus simples pour lever cet obstacle.
Si l'on est placé en O , extérieurement à la tour circulaire JlsT^ (fîg. aa),on mènera les tangentes OTy OT\ sur lesquelles on prendra deux distances égales et arbitraires Ox, Ox', de manière cependant que la ligne xj^ soit le plus près possible de la tour dont C est le centre : on fera sùn = xfm^ et Om sera évidemment dans la di* rection de ce centre. On mesurera alors Fangle COB^=^y et à la distance Oz on ajoutera le rayon Cz pour avoir CO = r.
S'il était impossible de mesurer le rayon ou la circonférence du cercle 7}iT'y on mesurerait Tune des tangentes OT^par exemple^ et Ton aurs^it
puisque toute tangente au cercle est moyenne proportionnetle entre la sécante entière et sa partie extérieure. Le reste de l'opération n'a maintenant aucune dîfiBcuIté.
Il est à propos de remarquer que l'on a plus simplement l'angle j^ ou
COB=: --T ; ainsi, Ton fera coïncider d'abord l'axe de la
lunette supérieure avec la tangente Or, ensuite avecla tangente OTy et l'on tiendra compte , chaque fois, du nombre de degrés marqué par cette lunette, qui doit toujours marcher dans le sens de la
graduation : on opérera ensuite comme dans Fart. i54, pour trouyer chacun des angles TOBy VOBj dont la demi-somme =/.
Lorsque Ton sera placé dans Tintérieur d'une tour circulaire, on fera en sorte que le centre de l'instrument soit sur Te milieu de la corde qui passe par ce point ; et la perpendiculaire à cette corde sera la direction du centre de la tour. Tous ces procédés sont si simples^ quil est inutile d'insister sur leur développement.
Centres invisibles des tours à bases polygonales.
157. Si Ton était en dehors de la tpur rectangulaire Z?J3' (fig. aS), en O par exemple, et que dé ce point l'on pût voir les extrémités de l'une des diagonales J92X, dd\ on aurait l'angle de direction COB = j^ par la méthode suivante :
On mènera une droite parallèle à DD'y en partageant en parties proportionnelles les côtés OD^ OU du triangle ODD\ et le milieu de cette parallèle sera sur la direction OC.
Autrement, on mesurera exactement la droite O/9 perpendiculaire à dD\ ainsi que la partie pm comprise entre Op et la perpendiculaire Cm imaginée abaissée du centre de la tour sur le côté â!D. Comme Cm est censé connu , on aura m.q par la proportion
Cm + Op ipm :: Cm : mq.
Ainsi la droite Oqy dont la direction est maintenant déterminée, passera nécessairement par le centre C; on mesurera donc O9, et l'on aura
qCs=:yCm -^rmqy
et enfin
r;^Oq-\-qC.
Ainsi , les deux élémens de la réduction de l'angle observé en O seront connus.
Il est visible que ce dernier procédé est général pour tous les polygones réguliers, soit que l'on soit placé dans Fintérieur , soit que l'on se trouve au dehors : toute la difficulté consiste, lorsque le centre est inaccessible , à déterminer l'apoÙiémc Cm du polygone qui l'entoure, et c'est ce que la Géométrie enseigne {voyez aussi sur cet objet le Mémoire de M. Delambre sur la détermination d'un arc du méridien ).
jgo TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Cependant s'ilarrivait que Ton ne pût mener la perpendiculaire Op^ on tirerait la droite O/n, et l'on éleyerait à Dp une perpendiculaire vers le milieu de pm. La partie de cette perpendiculaire comprise dans le triangle COm sera &cile à déterminer par la théorie des lignes proportionnelles; on aura donc la direction du rayon OC^ et ce moyen est aussi général que le précédent.
Il est évident que tout ce qui vient d'être dit relativement aux tours rondes ou polygonales, s'applique mot pour mot aux poutres verticales qui peuvent embarrasser le centre de la station.
Les signaux temporaires , construits conune on l'a dit à l'art, i la^ dispensent de cette réduction , qui est presque toujours une source d'erreurs , quand les élémens n'en sont pas bien connus.
