LIVRE DEUXIÈME. i
conséquemment ,
enfin , prenant le logarithme vulgaire de chaque membre y on a
log( A - «) = log {akr) + ir + ^ At» - ^^ k'r' + etc. (5)
SMl s'agissait de la formule
log A = log a — r, on aurait cette série ,
log (a - A) = log(aÂ:r) ^ ^r + i^kr' •• -^^k'r' -^ etc. (6)
La convergence de ces deux séries permet le plus souvent de s'arrêter aux termes en r.
i04. On résout analytiquement le problème inverse avec la plus grande facilité. En effet, soit A un nombre donné, dont on demande le logarithme exact jusqu'à la quatorzième décimale : on choisira, dans les grandes tables, un nombre a qui ait les cinq premières figures communes avec A , et l'on fera
A — a = r, après quoi l'on aura
logA = loga + /x (^ - -~ + ^ - etc.). {7)
On suppose, dans cette circonstance, que l'on n'a à sa disposition que la table ordinaire des logarithmes à vingt décimales, pour tous les nombres depuis i jusqu'à 1161 on laooj alors, pour trouver le nombre a^ on cherchera dans la Table des diviseurs les plus simples des nombres, par Burckhardt, un nombre très-peu différent de celui qu'expriment les quatre ou cinq premières figures de A, et dont les facteurs soient plus petits que ti6i, afin que leurs logarithmes puissent se trouver dans la table avec toute l'exactitude désirable.
i44 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
105. Un autre problème non moins important à résoudre est celui-ci: Etant donnés séparément logB et logC^ trouver le logarithme de B -f- G ou celui de B — G , c'est-à-dire réduire deux termes à un seul.
Supposons G < B; on fera ~ = A, et Ton aura
logA = logG — logB, log(B-4-G) = logB-h log(i -h A).
Maintenant soit a un nombre fort approché de A , et dont le logarithme se trouve dans les tables y ainsi que log (i + a)ou log (i —a); on aura
log A = log a dz r,
r étant un très-petite quantité qu'il faut déterminer avec beaucoup de précision. Si Ton passe de là aux nombres ^ on aura, comme ci-dessus,
A = ûe*S ou bien
I + A = I -h a^'' + a — a; par suite,
Soit b = ; on pourra écrire
H~ A = (i -4- a) [i — i (i — 6^)]; et prenant les logarithmes vulgaires de chaque membre , il viendra
log(i+A) = log(i-ha)-fxè(i -c*^)-fx^(i ^e^Y^etc.j [L étant toujours le module o,434^944B. Mais
e*'' = I -t- ArH-etc;
on a donc , à cause de /xA: = i ,
log(n.A) = log(i -|-a)±:*r+^— ^Ar^itetc; (8)
