LIVRE DEUXIÈME

et si Ton Ésiit b = , on aura de même

log (i - A) = log (i - a) :p èr - ^JL±h kr» qr etc. (9)

Pour des tables ordinaires à 7 décimales, il suffit de tenir compte du terme en r. Legendre pense qu'à Taide de ces dernières on peut calculer aisément toutes les formules trigonométriques à deux termes , parce que l'on évite l'emploi des angles auxiliaires y qui allongent souvent les opérations numériques. C'est pour cette raison que nous sommes entrés dans quelques détiails à ce syjet.

106. On peut substituer à ces formules j^articulières d'interpolation une formule générale qui dispense de connaître la loi d'après laquelle se forment les termes successifs des tables.

Soient Â, A', Â", A^, etc., les termes consécutifs d'une série correspondants aux indices en progression arithmétique ou par différences, a^a^^ hyU'^ nhyU'^ Zhj etc. ; on aura un terme quelconque jr ou A^;,) correspondant à l'indice a + nh par la formule suivante , démontrée à la page 691 du Traité élémentaire de Calcul intégral , par M. Lacroix (5® édition), savoir:

dans laquelle cfA, (?*A, c^A, etc., désignent les diflférences i"^, a®, 3®, etc., de A, supposées continuellement décroissantes et positives. Lorsque les tables ne donnent que les différences premières, il faut, par des soustractions successives, former les différences ultérieures; après quoi l'on évalue les termes de la série précédente, en poussant l'approximation jusqu'au degré de précision que comportent les tables. Si, par exemple, on employait celles de Ylacq qui sont à 10 dé- I. 19

cimalesy il suffirait de n'avoir égard qu'aux difFérences secondes; ainsi

l'on aurait simplement

Ac.> = AH-/j((fA + ^cï«A), (II)

et de là, en faisant A(«) = j^, on tirerait

n = ' ; (la)

aA+^ — !.^A

c'est-à-dire que pour trouver n par le moyen de^ , on n^ligeràit d^abord au dénominateur le terme du second ordre cf * A, pour avoir une

première valeur approchée de n qui derait n =- ^ y et à l'aide de laquelle on évaluerait d'une manière suffisamment exacte le terme négligé. Ensuite on déterminerait une seconde valeur de n par la formule entière (12) : elle représenterait alors le véritable indice cherché, et l'on n'aurait plus qu'à évaluer la variable a^nh correspondante à la quantité^ donnée. De cette manière on obtiendrait dix décimales pour les logarithmes et dix chiffi^es significatifs pour les nombres.

107. i^ Exemple. Supposons qu'on demande l'angle A ^^^ donné par la valeur logsin A^^) = 9,55797 90661 2900, et qu'on Ait à sa disposition les grandes tables dé la Trigonometria britarmica calculées pour des intervalles d'un centième de degré ; on verra tout de suite que l'angle A („) est compris entre 21**, 18 et a 1*^,1 9.

Soit donc a = 21^,18; on aura immédiatement, à cause de la relation (3) ,

logsina = 9,55786688653682, mais log sinA^;,} = 9,5579790661 2900;

ainsi , différence r = 112c 795 92 1 8.

Maintenant calculant seulement les deux premiers termes de la série (4),

LIYRE D£UKI£fif£.

on a y en les évaluant en degrés y

log r =; 6,04991 38568 33

log (- =* j = 0,36221 56887 00

log tanga = 9,588a4 i3447 9^

log [2] mais à cause de A („ ) = 41 -H'^, et de jr = [ i} + £2] -

angle cherché Â („) = 21*^,1857353249469.

Les termes en p^ que nous avons négligés n'augmenteraient que d'une unité la dixième décimale : leur valeur est i . o64-

Pour vérifier ce résultat par la formule générale d'interpols^tion , il faudra former le tableau suivant au moyen.d^difierences premières ù A prises dans la table.

logsin ^a, = 9,82852 24

■1 II» ti«.iii «■

log/?:sin2a = 6,1718485 7,7584»^

= 3,93o34 ao ;

r etc. , on a

log a ou A