LIVRE DEUXIÈME

\og r = 4,74178 655i6 log k = o, 36a ai 56887 log a = 9,63778 98a93 6 — -j r = — a759o 3

Delà

et puisque

on a enfin

c'est précisément le module que nous avota^désigné ci-dessus par jj..

3® Exemple. On demande le logarithme du nombre

A = 3,141593653589793, approché jusqu'à la quinzième décimale; ce nombre est, comme on le voit bien, la denû-circonférence d'un cercle dont le rayon est égal à l'unité.

Soit n ^ 3,i4i6 = 1,68 X 1,87; on aura

a — A = r = 0,00000 73464 ioao7 , et la formule (7) , en y faisant r négatif, puisque a> A , deviendra

logA = loga-^(n-i^+i^);

en l'évaluant par le moyen des logarithmes, on aura

log 1,68 = o,aa53o 93817 a586a 85

log 1,87 = 0,37184 i6o65 36498 97 log r = 4^86607 51747

log a = 0,49715 0888a 6a36i 8a o,497i5 o8883

[i] = — ioi55 67o4o5 log£ = 4>3689a 4^864

■ I ■ ■■ I I M»^»^— ■■■■^■« ,.■■■■0 ■» ■^■■1 P^IIB ■

0,497149873695331 S logfi' = 9*63778 43ii3 [3] = — IÏ874 log-[i] 4,0067085977

log A = 0,497149873694134 '<»8 i-= 4,0678943

* log. [a] 8,07460 39.

1 5o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Tel est le résultat qu'U fallait trouver, et qui est exact jusqu'à la quinH

zième décimjtle.

4« Exemple. Soit log A=9,33o54 o8833 91 87; on demande log ( i +A) avec le même degré d'exactitude.

Pour trouver le nombre a , qui diffère très-peu de la valeur approchée A. = o,ai4o63, Legendré i-éduit cette valeur en fraction continue , et il trouve que Tune des fractions convergentes esta = ^. En efiPet 9 la fraction

I 4-etc. ;

ainsi l'on a pour quotients consécutifs

4, I, 2, 22, I, i,etc.,

et pour fractions convergentes

* ' ' ^ ^ JZ !}l etc ' ■

7' 4' 5' 74' Hts' 3i^' ??S'*^*^'

c'est-à-dire, sur la première ligne on écrit les quotients 4 > 1 > ^ > «te. , puis l'on prend pour première fraction intégrante j, et pour seconde l'unité divisée par le premier quotient 4; ensuite on multiplie séparément les deux termes de celle-ci par lé quotient corrd^fmdant , et l'on augmente chaque produit , d|i numérateur et du dénominateur de la frac- , tion qui précède ; ce qui donne les deux termes de la fraction suivante j. Enfin l'on opère de la même manière poui^ déterminer siiccesnvement les autres fractions.

I>IVR£ DEUXIÈMEr 1 5 1

La valeur de a étant trouvée , Ton a

log a = 9,33o54o593i 725a log A = 9,33o54o88339i37

log A — loga «3 r =c 290a i885.

D'ailleurs i -v-a = .J^; si donc l'on continue d*opérer avec quinze décimales y et qu'on évalue -led^ termes consei^és de la formule (8), on aura

log(i -4-a) = 0)084^4 10448 17027

R = 5ii 71163

enfin, log(i H-A) = 0,08424 10969 8819,

R représentant ici les termes en r et r' de la formule.

5® Exemple. On sait que log sin d = 9.61722 43 1 46 6214; on demande log cos Q j avec un pareil nombre de décimales ?

Soit A = sin* Q ; on aura cos* 6 = i — A et log cosô = | log (i — A) ; il s'agit donc de déduire log (i — A) du logarithme donné. Or, en le doublant , il vient

log A = 9,23444 86293 2428,

et l'on a,, pour valeur approchée, A = o, 1 7 1 573. Développant , comme pi-dessus^ cette valeur en fraction continue, on trouve qu'elle diffère très-peu de -fH ; d'après cela , si l'on fait a = -^ , on aura i'^a = |^ ; et si l'on. effectue le calcul de la formule (9), comme on vient de faire ^ celui de la formule (8), on trouvera définitivement

log(i — A) = log cos* ô = 9,91825 431032612,

et partant ,

logcos9= 9,95912 7i55i 63o6.

Legèndrea donné d'autres applications intéressantes de ses formules; on- fera bien d'y recourir, si ce qui précède parait insuffisant.