CHAPITRE PREMIER

CONSIDÉRATIONS GÉNl^RALES SUR LA FORMATION DU CANEVAS DES

GRANDES CARTES TOPOGRAPHIQU^S.

108. La Géodésie est une partie de la Géométrie appliquée j qui traite de la division des champs ; mais suivant Tacception la plus étendue, elle a pour objet la mesure de la Terre y ou celle d'une partie de sa surface , et c'est sous ce point de vue général que nous nous proposons de l'envisager. Les opérations géodésiques sont donc celles par lesquelles on détermine les positions respectives des principaux lieux d'un pays dont on veut lever la carte. L'ensemble de ces opérations forme ce que l'on ftppelle unç tiiangulation ou un canewis trigonométrique , parce que les positions dont il s'agit représentent les sommets des angles des triangles qui^ par leur enchaînement , composent un réseau continu dans tous les sens. Ces triangles de premier ordre y dont on observe rigoureusement les angles , réunissent les conditions les plus avantageuses, lorsqu'ils sont aussi grands que possible^ à peu près équilatéraux, et qu'ils sont liés au moins à une ligne principale, ou base que l'on mesure avec beaucoup de soin. Lorsque cette base et les trois angles

I de chaque triangle sont connus y on a tous les éléments nécessaires pour

calculer de proche en proche les distances entre les objets; car un trian^ gle est déterminé de grandeur , quand parmi ses six parties l'on connut un côté. Le canevas général d*une carte étant ainsi établi, on le divise en canevas partiels , c'est-à-dire que Ton couvre de triangles secondaires et tertiaires la surface de chaque grand triangle. Les triangles secondaires prennent leurs bases de départ de quelques-uns des cotés du . réseau de premier ordre , et l'on en mesure pareillement leê trois angles. Quant aux triangles tertiaires , leurs sommets ne ^ont le plus souvent déterminés que par l'intersection des rayons visuels menés des stations du second ordre. On conçoit que, par ce moyen, l'on a une multitude de petites directions et de points rapprochés auxquels ceux qui relèvent les détails à la planchette ou à la boussole , pour former une topographie complète du pays, rattachent continuellement leurs travaux.

L'ibstrument adopté en France vers la fin du xviii* siècle, et ensuite dans quelques autres pays de l'Europe, pour mesurer les angles des triangles du premier et du second ordre , ainsi que pour observer les latitudes et les azimuts, est le cercle répétiteur de Borda : c'esj celui • dont nous donnerons particulièrement la description, et dont nous

4 ferons connaître l'usage. La préférence qui lui a été accordée résulte

• de l'extrême précision qu'il procure, même sous d'assez petites di-

mensions , et de la facilité avec laquelle on l'établit dans le plan des objets ; mais comme l'axe de la lunette inférieure ne passe pas celui de rotatation de l'instrument, l'angle observé a quelquefois besoin d'être corrigé de la petite erreur occasionnée par V excentricité de cette lunette. Il est même souvent impossible de placer le cercle au centre de la station , et alors l'angle observé doit encore éprouver une correction , que . l'on nomme réduction au centre, et qui est analogue à celle dont on vient de parler.

Il arrive en outre, presque toujours, que l'angle ob^rvé est incliné à l'égard du plan horizontal qu'on imagine passer par le centre de l'instrument: la projection de cet angle, sur ce plan, se nomme réduction à l'horizon. Mais depuis les perfectionnements apportés au théodolite répétiteur y dont le limbe jouit de la propriété de rester dans la position horizontale, tandis que les lunettes semeu vent dans des plans verticaux ; I. î»o

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les angles observés entre les objets, avec cet instrument, sont naturellement réduits à lliorizon.

Enfin y si l'objet sur lequel on pointe est éclairé du Soleil, et qu'il soit d'une largeur sensible, l'observateur n'en voit ordinairement qu'une partie ou phase ^ et le rayon visuel , dirigé sur le milieu apparent de cette phase, ne passe pas par le centre de l'objet. Il faut donc encore à l'angle observé, faire une correction qui dépend essentiellement de la position du Soleil et de la forme de l'objet; mais il est très-rare que cette correction soit nécessaire , parce que l'on fait en sorte de pointer sur des objets très-distincts , et cependant d'une très-petite largeur apparente.

Lorsque les angles des triangles d'une grande chaîne sont réduits à l'horizon de leurs sommets respectifs, on ajoute ceux d'un même triangle, et la somme que l'on obtient surpasse nécessairement deux angles droits; parce que les angles ajoutés sont ceux d'un triangle sphérique dont les côtés très-peu courbes , à la vérité , représentent les distances curvilignes comprises entre les verticales des stations. Ensuite l'excès dont il s'agit, et qui* est en même temps affecté des erreurs d'observation , se répartit indistinctement par tiers sur les trois angles du triangle dont il dépend. Quand ces angles sont ainsi réduits à ne valoir que deux angles droits, on procède au calcul des distances, en les considérant simplement comme des côtés de triangles rectilignes, en vertu du théorème de l'art. 100, quoiqu'elles soient des arcs de grand cercle de la sphère dont le rayon estJe.méme. que celui de la ligne géodésique, ou de la base réduite préalablement à un niveau constant, qui est celui de la mermojrenne (n^ 33). Quant aux triangles secondaires, ils se forment, s'observent et se résolvent de la même manière que les grands triangles qui leur fournissent pour bases un ou plusieurs de leurs côtés.

Au lieu de ramener par cette voie la résolution des triangles sphériques peu courbes à celle des triangles rectilignes, on peut les traiter comme tels en dégageant chacun de leurs angles observés du tiers de l'erreur totale , ou bien Ton peut réduire les angles horizontaux aux angles formés respectivement par les cordes des arcs compris entre les stations; et pour lors les triangles à calculer sont réellement des triangles rectilignes, dont un des côtés est la base mesurée et réduite à sa corde, ainsi qu'à un horizon fixe tel que celui de la mer.

On ne saurait néanmoins assigner, par le moyen des seules distances calculées , la place que les stations occupent réellement sur le globe terrestre; il faut en outre déterminer astronomiquétnent la latitude et la longitude de Tune d'elles , ainsi que V azimut de l'un des côtés de la chaîne, c'est-à-dire l'angle qu'il forme avec le méridien connu. On déduit alors deces nouvelles donnéesles positions géographiques des autres objets observés , ou leurs distances à l'équateur et au méridien d'où Ton est convenu de compter les longitudes. Il est surtout essentiel dans les triangulations de premier ordre , faites dans le but de déterminer les dimensions de la Terre ou de former une exacte description géométrique d'un grand état, de mesurer plusieurs bases de vérification, et de s'assurer si les résultats fournis par les calculs s'accordent avec les latitudes et les azimuts observés vers les extrémités de la chaîne des triangles.

Pour connaître en outre le relief du terrain, il est nécessaire de déterminer les hauteurs de ses différents points au-dessus des mers, à l'aide de leurs angles d'élévation ou de dépression et de leurs distances réciproques: or c'est ce que procurent les nivellements trigonométriques , qui font essentiellement partie des opérations géodésiques des différents ordres. La latitude, la longitude et l'altitude, ou la hauteur absolue de chacun des sommets des triangles d'un réseau, sont donc trois coordonnées indispensables.

Lorsqu'on a recueilli ainsi tous les éléments qui constituent le canevas d'une carte , on y trace , suivant une certaine loi , deux systèmes de lignes, dont l'im représente des méridiens, l'autre des parallèles; et l'on fixe, à l'aide de ces lignes, les positions de tous les lieux donnés par leur latitude et leur longitude. Quelquefois aussi , quand la carte n'embrasse qu'une petite étendue de pays, on en rapporte les principaux lieux à deux axes rectangles, qui sont le développement rectiligne du méridien principal de cette carte , et celui d'un arc de grand cercle perpendiculaire à ce méridien. Dans ce cas, les coordonnées des points déterminés par le réseau de triangles , sont des distances à la méridienne et à sa perpendiculaire , ou des plus courtes distances géographiques.

Tel est le précis des matières que nous allons traiter avec tout lé détail nécessaire : nous tacherons même que les personnes qui sont peu

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versées dans l'Analyse et la Géométrie , retirent tqut le fruit poftible de la lecture de cet ouvrage ; et comme dans la plupart des exemples de calculs trigonométriques , nous emploierons la division centésimale du cercle , afin de les rendre plus simples et de nous conformer à ce qui se pratique parmi les ingénieurs-géographes français , nous aurons soin d'indiquer les légères modifications qu'il y aurait à faire dans nos formules ^ pour que les résultats en soient donnés en degrés sexagésimaux, dont l'usage est universel.