CONSTRUCTION DES SIGNAUX

109. Nous avoùs déjà dit que les triangles d'un réseau de premier ordre doivent avoir de grandes dimensions ; mais la courbure de la Terre et la force des lunettes du cercle répétiteur fixent à cet égard une limite que Ton ne saurait franchir sans s'exposer à nuire à la précision qui résulte de l'emploi d'un bon instrument , quand les objets qu'on observe sont bien distincts. Nous avons dit aussi que les triangles réunissent les conditions les meilleures , quand ils sont équilatéraux ou peu différents de cette forme; c'est ce que va prouver l'analyse suivante :

Soient y comme de coutume, A, B, C les angles 9 et a, 6, c les côtés d'un triangle géodésique ; on aura

asinB = 6 sinA;

et si Ton suppose que la base& ait été mesurée avec un soin tout particulier, l'erreur sur cette mesure pourra être considérée comme nulle. La différentielle de cette équation , en y regardant h comme constant , sera donc simplement

da = . ^ dk ;--- aB;

siD B sm B '

et à cause de

sin B sin A '

on aura

da=^a coX. kdk — a cotB^B.

i58 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Dans cette formule différentielle y les variations ^A y dB sont supposées positives : elles peuvent en général désigner les erreurs commises sur la mesure des angles A , B , erreurs supposées de quelques secondes seulement y et qui se composent de celles de l'instrument et du pointé. Si Ton admet qu'elles soient égaleâf, et dans le même sens , on aura y pour Terreur du côté cherché a ,

da = adA (cot A — cot B) ,

laquelle sera évidemment nulle si A = B.

Si au contraire on suppose que les erreurs dA^ ^B soient égales , mais de signes différents y on aura

da = ±1 adk (cot A + cot B) ; et puisque 9 d'après Fart. 45,

cotA + cotB = 'i^(^ = . , 'y^^"^,^^,>

sinAsmB •5-co$(A — B) — |co8(A-+-B)

il s'ensuit que

da = ±: ad A • — 7-7 — lt-t-: ;;;

cos(A — B)-+-cosG

l'erreur da sera donc la plus petite possible^ lorsqu'on aura

cos(A — B) = I , ou A = B.

Il résulte de ces deux hypothèses y que la condition la plus awinta^ geuse est en effet que les deux côtés cherchés dun triangle soient cha^ cun égaux à la base mesurée.

Dans la pratique y il est impossible de satisfaire complètement à cette règle ; mais en formant des triangles dont les côtés diffèrent peu entre eux y les erreurs des observations angulaires auront très-peu d'influence sur les côtés calculés. En général y il ne faut admettre aucun angle audessous du tiers d'un angle droit y à moins que les localités ne forcent à s'écarter de ce précepte. D'ailleurs on se procure par là un autre avantage; c'est qu'un angle de cette grandeur s'observe avec le cercle de Borda plus facilement que s'il était plus petit.

La formule fondamentale a = • ^^^- étant différentiée par rapport à

UVRE TROISIÈME. iSg

a et b, on A

. \sinB/

ainsi Terreur qui a£Fecte le côté cherché est égale à celle de la base , multipliée par le rapport -:— ^ , ou par une quantité plus grande que

l'unité. En effet , en supposatit B = 5- , on a A4- C = x-> ©t par consé-

quent ^ pour la valeur moyenne de A ou de C.

Les bases doivent donc être mesurées avec l'attention la plus scrupuleuse , et n'être pas trop courtes par rapport aux autres côtés des triangles dont elles dépendent.

En formant un long réseau , on conditionne les triangles dont il se compose, de manière à ce qu'ils s'agrandissent peu à peu 9 à paitir de la base mesurée 9 et qu'ils acquièrent les dimensions que comportent les localités et les instruments.

tlO. L'expérience démontre que les erreurs dans la mesure des angles, loin de s'accumuler de plus en plus sur les côtés des triangles par lesquels on passe pour arriver à la dernière ligne d'une longue chaîne, se compensent au contraire en partie, lorsque ces triangles j'emplissent les conditions qui viennent d'être énoncées* Par exemple, Bouguer et les autres académiciens français qui furent chargés, en 1 740, de la mesure des trois premiers degrés au Pérou, trouvèrent seulement 65 centimètres (a pieds) d'erreur entre la mesure et le calcul, sur la dernière base déduite d'une série de vingt-huit triangles étendus sur un arc de plus de 35oooo mètres; de nos jours, les opérations géodesiques de Delambre et Méchain , quoique étant composées de quelques triangles d'un choix peu satisfaisant dans la partie de la méridienne de Dunkerque comprise entre Bourges et Fontainebleau,» semblaient n'avoir donné lieu qu'à une différence d'un tiers de mètre dans la longueur de la base de Perpignan, conclue de celle de Melun, par une chaîne de plus de 60 triangles [j^stronamie de Delambre, tome III, p. 545); mais la triangulation plus récente qui sert de fondement à la nouvelle carte de France, a fait reconnaître que ces deux bases pré-

f6o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

sentent réellement une discordance de i™,82 sur 11706^,4, qui est la mesure directe de la base de Perpignan ( vojrez notre N ombelle Description géométrique de la France^ t. P"", p. %[\i et 47^^); d'où il suit que l'arc de méridien limité par les parallèles du Panthéon et de Montjouy , et calculé par Delambre, doit être augmenté de 33 toises -î^.

Laplace , dans un savant Mémoire sur le Calcul des Probabilités appliqué aux opérations géodésiques ( Connaissance des Tems de 1 8ao , p. 4î*î^)> trouve en général de l'avantage à ce qu'un réseau soit composé du plus petit nombre possible de triangles.

111. Le choix des stations 9 c'est-à-dire des points où l'on doit observer, exige beaucoup de discernement de la part de l'ingénieur, pour allier l'économie avec la précision à laquelle on désire atteindre. Il est nécessaire qu'il fasse d'abord la reconnaissance du pays , et qu'il trace le plan de son canevas trigonométrique. S'il a pour but de mesurer un arc de méridien , ou toute autre ligne fondamentale d'une grande opération géodésique, il doit disposer ses triangles de manière qu'ils soient, autant que possible, traversés par cette ligne; or c'est de quoi il s'assurera en faisant des observations et des calculs provisoires, comme nous l'enseignerons par la suite. Mais s'il entreprend le levé de la carte d'une contrée, il n'est plus gêné dans sa route; il a la liberté d'étendre son réseau dans tous les sens. En général , il doit choisir de préférence les endroits assez élevés pour qu'ils se projettent dans le ciel , lorsqu'ils sont aperçus des stations voisines.

Supposons que du point A (Jig. 16), on voie le point B dans le ciel. Pour savoir si de ce second point l'objet A se projettera de même dans le ciel , on prendra la distance zénithale ZAB et la distance zénithale ZAC du point opposé de l'horizon. Or, il peut arriver que la somme ZAB 4- ZAC surpasse sensiblement deux angles droits ; dans ce cas , l'objet A sera bien visible du point B. Mais si la somme dont il s'agit est plus petite que 200° , l'objet A se projettera en terre ou sur la montagne qui borde l'horizon vu du point B, et sera souvent difficile à distinguer nettement , à moins que l'intervalle qui le sépare des limites de l'horizon ne soit considérable.

Ix)rsque la somme des deux distances zénithales sera de deux angles droits , ou quelques minutes de plus , il y aura lieu d'espérer que le

signal À , vu de la station R j sera suffisamment élevé par la réfraction , pour être aperçu dans le ciel.

112. Les clochers, les tours et les donjons couronnés de plateformes sont en général des stations commodes ; mais il n'est pas toujours possible d'en disposer pour former des triangles avec les conditions les plus avantageuses y et le plus souvent ces objets ne dispensent pas de l'usage des signaux , quand on veut rendre le pointé plus sûr. Il est vrai que, dans ce cas, ces signaux sont très-simples, et s'établissent à peu de frais. Par exemple , une poutre verticale , surmontée d'un poinçon ou tonneau, ou d'un petit cône , étant établie sur le haut d'un édifice dont la forme et la grosseur nuiraient à l'exactitude des observations angulaires, offre un point de mire avantageux. Quelquefois aussi l'on préfère un disque d'un demi-mètre de rayon , peint en noir, et percé au centre pour apercevoir le ciel à travers. Mais ce moyen n'est praticable que quand on peut charger quelqu'un de diriger le disque en face de l'observateur.

Dans les opérations délicates exécutées en Angleterre, vers la fin du siècle dernier, et dans l'Inde au commencement de celui-ci , l'on a préféré les observations de nuit, et l'emploi des feux du Rengale, parce qu'ils jettent une lumière très-vive. Nos cercles français, construits d'après le principe de la répétition , se refusent à l'usage de ces feux de courte durée; mais on y supplée par des lampes à courant d'air, accompagnées de miroirs paraboliques qui réfléchissent la lumière dans la direction de l'observateur. Ces signaux paraissent être les meilleurs qu'on puisse se procurer lorsque les distances qui les séparent du lieu des observations sont considérables. MM. Riot et Arago s'en sont servis en Espagne , avec beaucoup de succès , dans le prolongement de la méridienne de France ; et M. Laplace en avait recommandé expressément l'usage pour la mesure d'une grande perpendiculaire à la méridienne passant par Paris, et considérée comme l'une des lignes fondamentales du canevas trîgonométrique de la nouvelle carte du Royaume.

On augmente le foyer de lumière, en réunissant plusieurs réverbères; mais il faut en confier la garde à une personne qui prenne le soin d'entretenir les lampes , afin que le centre de figure soit toujours le même. Il parait que trois réverbères de moyennes dimensions, qui seraient dis-

i6a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

posés aux angles d'un petit triangle équilatéral ^ offriraient une masse de lumière suffisante pour une distance de dix à douze myriamètres. En les adaptant à un pivot qui représenterait l'axe du signal j on pourrait les faire tourner au gré de l'observateur. Les avantages qu'on trouve bilans leur emploi consistent en ce que l'on n'a aucune phase à craindre;

Cque le point de niire est toujours très-distinct; et qu'à moins d'oscillations produite&jiar une atmosphère agitée/, ou de fortes brumes, les observations sont généralement plus faciles que celles qui sont faites de jour, si les réticules sont suffisamment éclairés.

Quand on ne peut profiter des édifices comme points de station , l'on emploie des signaux qu'on établit sur des lieux élevés. On les forme avec de longues files de bois réunies en pyramide tronquée à base quadrangulaire , et on leur donne de la solidité en les enfonçant en terre, ou en les maçonnant aux quatre angles de la base; enfin, pour les rendre plus visibles, on garnit de planches les quatre faces jusqu'à environ deux mètres de terre : cet intervalle , laissé libre , est nécessaire pour voir les signaux environnants. Alors on se place précisément dans l'axe du signal , afin d'éviter la réduction au centre {v. Isijîg. 17): cet axe est déterminé par la verticale passant par le point de mire. On a soin , en faisant le plan du signal , d'indiquer le point où cette verticale rencontre la base. Si , au contraire , ce signal est établi dans une plaine ou au milieu d'un bois, et qu'il faille lui donner une grande hauteur , on construit à son sommet une petite chambre d'observation avec des ouvertures par lesquelles on puisse voir les objets éloignés.

En France, les ingénieurs-géographes sont dans l'usage, pour le service de la carte de France, de planter une borne au centre d'un signal érigé en rase campagne. Cette précaution , que ne prennent pas toujours les observateurs , procure des points de repère très-utiles , tant pour ceux qui doivent lier leurs opérations de détail aux points trigonométriques, que pour coordonner des nivellements partiels du terrain avec le nivellement général résultant de la triangulation.

Des arbres bien droits , et dépouillés de branches vers le bas de leurs tiges, sont aussi de bons signaux naturels; lorsqu'ils se trouvent isolés et sur les sommets des montagnes , ils s'aperçoivent de très-loin , surtout s'ils se projettent dans le ciel et sur les nuages.

On fait aussi construire en pierre des pyramides carrées , et on les

dispose de manière que les faces soient à peu près perpendiculaires aux côtés des triangles qui ont ces pyramides pour sommets. Si ces signaux se projetaient en terre , ou sur un fond qui les dérobât à la vue , on les ferait peindre , ^n qu'ils pussent se bien détacher par l'effet de l'op- position des couleurs. Lorsqu'un signal se projette dans le ciel , il convient de le peindre en noir; s'il est vu sur un fond vert, la couleur blanche le fera bien distinguer.

Del ambre prescrit de donner à un signal une hauteur telle , que de la station la plus éloignée il paraisse sous l'angle de 3i'' de la division sexagésimale; dans ce cas cette hauteur est

H ='o,ooo

lO

K étant la distance à ce signal. Il prescrit en outre de donner au côté de la base le tiers de la hauteur.

Parmi les signaux d'une forme insolite , nous citerons particulière* ment les flèches très-aiguës, parce qu'elles sont souvent invisibles. Les moulins à vent, à cause de l'irrégularité de leur figure, sont aussi de mauvais signaux; d'ailleurs comme ces objets, souvent mobiles, tournent sur un axe qui ne passe pas par le centre de figure, ils se présentent sous différents aspects, selon la direction dans laquelle on place les ailes pour donner prise au vent. Il est donc important , lorsqu'on est obligé de les employer, de se prémunir autant que possible contre les erreurs d'observation qu'ils sont susceptibles de faire commettre.

Si l'on adopte pour signal une flèche élevée, il faut tâcher de se placer assez près du point où l'on doit viser des stations voisines, afin que le défaut de verticalité de la flèche ne donne lieu à aucune erreur sensible dans la réduction à l'axe.

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