DESCRIPTION ET USAGE DU CERCLE REPIÉTITEUR

113.. Si Ton partage la circonférence d'un cercle en plusieurs parties égales 9 et qu'à partir de zéro l'on porte successivement sur cette circonférence, et suivant l'ordre des divisions , la longueur d'un arc jusqu'à ce que sa seconde extrémité tombe exactement sur une des lignes de division , ou du moins en soit si près que la différence échappe aux sens; on obtiendra rigoureusement, ou d'une manière très-approchée, le nombre des parties contenues dans l'arc proposé, en divisant le nombre des parties de l'espace parcouru , par le nombre de fois que l'arc aura été porté sur la circonférence. Supposons, par exemple, que cette circonférence soit divisée en 4ooo parties, et qu'à la neuvième fois, après une révolution entière, l'arc dont on cherche la mesure tombe sur la ligne qui termine la 5o® division ; il est clair que l'espace parcouru contiendra 4o5o parties , et que l'arc proposé aura pour mesure ^-^^ = 45o. Cet arc sera donc à la circonférence entière dans le rapport de 9 : 80. S'il existe une erreur dans cette évaluation, il est évident qu'elle ne doit être que la neuvième partie de celle dont peut être affectée la neuvième division; mais rien n'empêche de rendre cette erreur beaucoup plus petite, en portant l'arç à mesurer un plus grand nombre de fois sur la circonférence.

Ce moyen fort ingénieux de trouver, par des opérations répétées , le rapport d'un arc à la circonférence dont il fait partie , est dû à l'astronome Mayer ; mais Borda en fit une application très-utile dans la mesure des angles , en imaginant pour cet effet le cercle répétiteur dont nous avons déjà parlé, et qui réunit le précieux avantage de garantir

presque entièrement des erreurs de la division , lorsqu'on multiplie suffisamment les observations.

Un cercle de 43 centimètres (i6 pouces) de diamètre suffit pour les opérations les plus délicates de la Géodésie, et son limbe comprend aisément 4ooo parties égales , dont i o forment le grade ou ,1e degré décimal. Dans un cercle de cette dimension, et même dans les cercles plus petits, la lunette supérieure AB [PL III) est adaptée à un châssis formé de deux règles ou alidades rectangulaires. On évalue les fractions des plus petites parties du limbe au moyen des divisions tracées aux extrémités des règles du châssis; l'ensemble de ces divisions compose ce que l'on nomme le vemier ou le nonius.

Pour concevoir l'usage du vernier, supposons que le limbe comprenne 4ooo parties , et par conséquent 4oo grades ; et que 9 de ces parties embrassent les i o parties du vernier : alors quand la première ligne du vemier, qu'on nomme index ou ligne de foi ^ sera exactement sur une ligne de division du limbe, sur le 4^^ grade par exemple, la seconde ligne du vemier sera en arrière de sa correspondante sur le limbe, d'un dixième de décigrade ou d'une minute centésimale. Si donc on faisait avancer la lunette supérieure suivant l'ordre de la graduation , et de manière que toutes les lignes du vernier coïncidassent les unes après les autres avec celles du limbe, on lirait successivement

4o^,o, /jO^yOi, l\Q^yOi^. . . ., 4û*^>ï;

puisque l'index , partant du 4o^ grade , aurait parcouru -j^ , ensuite -nr, 1^? 1^? • • • > i^ d'un décigrade, ou de la plus petite partie du limbe. Le vernier donne donc dans ce cas les centièmes du grade ou les minutes. On peut même avoir par estime des millièmes ou des dixaines de secondes. En général , si le vernier contient n parties , il donnera

^^ de la plus petite partie du limbe ; et par conséquent une partie du

vemier sera à celle du limbe dans le rapport de /i — i \n. Ordinairement les dix parties principales du vernier sont chacune divisées en deux également, pour rendre l'estime plus sûre.

Il suit de là que si un cercle était d'une petitesse telle que le grade ne pût être partagé qu'en 5 parties égales, chacune d'elles représen-

i66 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

terait un arc de ^o minutes centésimales , ou 20 centigrades; ainsi ^ ]e vernier composé de 10 parties donnerait les minutes de a en a.

Sur les cercles de moyennes dimensions (o™,22 de diamètre) , que l'on construit maintenant , et dont la graduation est tracée sur une lame d'argent, le grade est divisé en 10 parties égales ^ tandis que les deux traits extrêmes du vernier désignés par o et i o, et séparés l'un de l'autre par 5o parties égales , embrassent 49 parties du limbe. Ainsi lorsqu'on aura lu sur ce limbe les grades et les dixièmes , et sur le vernier les dixièmes des dixièmes ou les centièmes de grade , et enfin les plus petites parties, jusqu'à la parfaite coïncidence des traits, on doublera ces dernières parties pour en faire des millièmes de grade ou des dixaines de seconde centésimale.

Afin de pouvoir lire aisément le vernier, on se sert d'une loupe qui grossit les objets; et même pour rendre les traits plus distincts, on est . quelquefois obligé d'éclairer la partie du cercle où l'on doit lire , par un reflet de lumière provenant d'un morceau de papier ou d'une petite glace dépolie , que l'on dispose au-dessus du limbe , dans une situation convenable. Cela est surtout indispensable lorsque les divisions sont tracées sur l'argent, parce que l'on obtient de cette manière un blanc mat qui ne fatigue point la vue. Dans les cercles français, chaque loupe est ordinairement adaptée au châssis des vemiers; mais il est beaucoup plus commode d'en placer deux aux extrémités d'une branche mobile , assujettie à tourner autour du centre du limbe.

L'agrafe qui accompagne chaque lunette sert à la rendre fixe sur le limbe de l'instrument. Pour cet effet , l'on fait tourner dans le sens convenable les vis de pression />,p'(PZ. P^I). Quand on commence à éprouver de la résistance , on est sûr que la lunette ne peut plus se mouvoir indépendamment du limbe. •

A chaque agrafe est adaptée une vis de rappel R , R', au moyen de laquelle on fait avancer ou reculer lentement la lunette.

Chaque lunette porte à ses extrémités deux verres convexes d'inégales dimensions. Celui qui a le plus grand diamètre se nomme Yohjectif; c'est le verre qui est traversé le premier par les rayons lumineux venant de l'objet. L'autre verre ou lentille, se nomme V oculaire ^ parce que c'est à travers cette lentille que l'on regarde directement.

L'objectif est formé de deux verres de dififérente espèce: le premier,

de verre ordinaire ou de crown-glass, est convexe, et placé tout-à-fait au bout de la lunette; le second , de cristal ou deJUnt-glass, est concave et placé du coté de l'oculaire , de manière à emboîter exactement la convexité du premier. Les lunettes qui ont un pareil objectif sont dites achromatiques, parce qu'elles ne produisent aucun iris autour de l'image de Fobjet, et que la vision est alors très-nette, surtout vers le centre de l'objectif.

On a imaginé en Bavière, il y a peu d'années , un procédé pour faire le flint-glass, et il parait qu'on l'obtient de très-bonne qualité, c'est-à dire très-dense et sans stries. On en fait aussi d'excellent en France.

Ije champ de la lunette est tout l'espace circulaire dans lequel l'œil aperçoit les objets extérieurs : il est utile qu'il soit le plus grand possible. Les meilleures lunettes sont celles qui oiOFrent un fort grossissement.

Dans les lunettes à deux verres convexes seulement, les objets sont vus renversés , et plus clairement que dans celles où ils sont vus droits, à l'aide d'un plus grand nombre de lentilles. On n'eu adapte pas d'autres aux instruments de Géodésie et d'Astronomie. Ce renversement de l'image n'a aucun inconvénient , parce que l'on est bientôt accoutumé à discerner les objets dans cette situation .

L'objectif de ces lunettes est quelquefois adapté à une pièce cylindrique mobile, enveloppant l'extrémité du canon. Nous indiquerons tout à l'heure l'usage de cette pièce.

Le lieu intérieur de la lunette où viennent se peindre avec beaucoup de netteté les objets extérieurs, se nomme \tfojrer de l'objectif. On tire ou bien l'on enfonce le petit tube qui porte l'oculaire à très-court foyer jusqu'à ce que cette netteté soit obtenue. La distance de l'oculaire à l'objectif varie selon la vue de l'observateur.

Le réticule, placé près de l'oculaire et au foyer de la lunette , est un diaphragme ou petit anneau de métal dont les diamètres rectangulaires, un peu plus petits que ceux de la lunette, sont représentés par deux fils de soie, d'araignée ou d'argent. Cet instrument a la propriété de se mouvoir perpendiculairement à l'axe de la lunette , et de s'incliner d'un demi-quadrant. S'il arrivait que ces fils donnassent lieu à une parallaxe, c'est-à-dire que leur image parût éprouver du dérangement à l'égard de l'objet que l'on fixe, lorsque l'on regarde par différents points de l'ouverture de l'oculaire ; alors on ferait mouvoir en

i68 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

avant ou en arrière, et parallèlement à elle-même , la pièce qui entraîne l'objectif, de manière à en ramener le foyer à l'endroit même des fils supposés fixes. Au contraire , quand ces fils sont mobiles dans le sens de la longueur de la lunette , on les rapproche ou on les éloigne de l'objectif jusqu'à ce qu'il n'existe plus de parallaxe.

Les extrémités du cylindre X {PL ///et f^I) traversent celles des supports Z, Z'. Ce cylindre, en' tournant, incline l'axe Y placé perpendiculairement au centre du cercle auquel il sert de pivot. Pour incliner le cercle à volonté, et le conserver dans la position que l'on juge convenable de lui donner, on desserre d'abord la vis P du quart de cercle attaché au cylindre X; ensuite on la serre quand on a obtenu l'inclinaison désirée. Il est utile qu'il y ait aussi une vis de rappel à ce quart de cercle , pour lui procurer un mouvement lent analogue à celui qu'on peut donner aux lunettes.

Dans le cercle de Borda, construit en premier lieu par Lenoir, l'axe Y traverse une espèce de boîte TT' qui porte le nom de tambour, et dans laquelle est enchâssé un plomb servant de contre-poids au cercle, pour le tenir en équilibre dans le cas où l'on oublierait de faire agir la pince P pour fixer le quart de cercle C au support Z.

Le périmètre du tambour est dentelé , de manière qu'à l'aide de la vis sans fin W {PL V) qui engrène dans cette dentelure, on fait tourner lentement le cercle et les lunettes , sans que la colonne S participe à ce mouvement. Cette vis sans fin , que l'on nomme aussi vis tangente , se détache du tambour au moyen d'un pivot tournant D , auquel est fixée une petite pièce d'acier faisant l'office d'un levier. '

Les supports Z, Z' sont unis par une traverse, et forment ce que l'on nomme \2i fourchette. Cette traverse se fixe à la colonne de Tinstrument, en la plaçant sur le talon qui termine cette colonne , et en l'arrêtant par le moyen des vis H , H'. On voit donc que l'instrument est composé de deux parties qui peuvent être réunies ou séparées à volonté: on les sépare pour les emboîter et les transporter plus commodément.

Le pied de la colonne est placé au milieu d'un cercle denté z z', que l'on nomme cercle azimutaL Ce cercle est établi à demeure sur le pied de l'instrument, composé de trois branches V, V, V". I-.e bas de la colonne entraine par son mouvement de rotation une alidade zz' {PL FII^ n^ a), à l'une des extrémités de laquelle est un vemier qui

sert pour estimer les parties des divisions du cercle azimutal. La pince K est destinée à arrêter ce mouvement , tandis que la vis d'engrenage , ou le pignon O, sert à le procurer. Quelquefois le cercle azimutal tourne avec la colonne, et pour lors le vernier est fixe. , 11 résulte de ce qui précède, 1^ que les deux lunettes peuvent être rendues fixes ou mobiles indépendamment l'une de l'autre; a® que la colonne étant immobile, le limbe peut tourner rapidement ou lentement autour de l'axe Y, si l'on désengrène ou si l'on fait agir la vis du tambour ; 3^ que tout l'instrument peut tourner de la même manière sur sa colonne; 4^ enfin que le limbe s'incline dans deux positions différentes, au moyen du quart de cercle et des vis du pied.

Il nous reste à parler du grand et du petit niveau.

Le premier ^\P/. f^) , adapté invariablement à la lunette inférieure A'B', est composé d'un étui en cuivre recouvrant en partie un tube de verre fermé hermétiquement, et contenant de l'alcool ou de l'éther, et une petite quantité d'air ou de vapeur dé la liqueur, qui prend vers le milieu du tube une forme plus ou moins oblongue, suivant la température de l'atmosphère. La justesse de cet instrument dépend surtout de sa sensibilité; on entend par là la grande facilité avec laquelle la bulle d'air quitte le milieu du tube pour se rendre à son extrémité la plus haute , lo^rsqu'on donne la plus petite inclinaison à ce tube. Cette sensibilité se manifeste d'autant plus que la bulle est plus longue et que le tube est d'un plus grand diamètre. Il faut cependant que cette sensibilité ait des bornes , car si la paroi intérieure du tube était cylindrique, la bulle d'air, hors le cas de parfait équilibre , se précipiterait toujours à l'extrémité supérieure de la colonne fluide. Feu M. de Chezy, ingénieur des ponts-et-chaussées , reconnut le premier que pour remédier à cet inconvénient, et faire en sorte que l'écart de la bulle d'air fût proportionnel aux degrés d'inclinaison de l'axe du niveau, il fallait donner à l'intérieur du tube , dans le sens de la section longitudinale , la forme d'un arc de cercle d'une très-légère courbure. Un tube travaillé de la sorte est dit bien rodé.

On juge que le niveau est calé, c'est à-dire que la bulle d'air est stationnaire au milieu du tube , lorsque les extrémités de cette bulle répondent aux mêmes numéros qui désignent les divisions tfacées symétriquement sur le tube , ou sur une petite règle d'ivoire ou de métal I. nn

placée au-dessus du niveau. Les plus petites parties de cette règle sont ordinairement des millimètres , et le point zéro est au milieu du tube. Il n'y a que Texpérience, comme on verra par la suite, qui puisse faire connaître combien de parties doit parcourir la bulle en partant du milieu du tube, pour que Tinclmaison de l'axe du niveau soit de 1".

Le petit niveau gk{PU VI) est construit d'après le même principe que le précédent, et il est placé sur l'axe Y du cercle; l'une de ses extrémités est fixée à une charnière, mais l'autre extrémité peut être soulevée par le moyen d'une vis. Ce jeu est nécessaire pour caler ce niveau, lorsque le limbe du cercle a été disposé verticalement à l'aide d'un fil-àplomb suspendu à une pince qu'on adapte à la circonférence du limbe. Pour que cette verticalité ait lieu, il faut que le fil-à- plomb batte librement sur la ligne tracée autour de la petite tige de la seconde pince accrochée au point le plus bas de la circonférence dont il s'agit. Lorsque l'artiste a eu le soin de tourner le cercle sur son axe même, il est plus exact, pour mettre le plan de ce cercle dans une situation verticale, de disposer l'axe horizontalement au moyen d'un niveau à bulle d'air que l'on y suspend.

114. Le cercle de Borda, tel que nous venons de le décrire , est extrêmement précieux en Géodésie et en Astronomie , à cause de l'exactitude des résultats auxquels il conduit lorsqu'on sait en faire un bon usage. Néanmoins y il n'est pas exempt de quelques imperfections , et l'une des plus grandes , selon nous , est dans l'effet de la vis tangente ; car si en la faisant engrener, il arrive qu'un de ses filets tombe précisément sur un de ceux du tambour, le cercle éprouve un ébranlement subit et violent aussitôt qu'il reçoit un petit mouvement.de rotation par le moyen de cette vis, en sorte que les lunettes sont transportées tout à coup bien au-delà des points auxquels on vise; mais on corrige ce défaut en substituant une pince à la vis tangente. Un autre inconvénient, c'est que la colonne est si longue, que le cercle oscille par un vent faible, ou parle moindre choc; mais il est des artistes qui remplacent cette colonne par un axe en fer , soutenu par trois branches de cuivre faisant les fonctions d'arcs-boutanta : alora le cercle a dans toutes ses positions une g{*ande soKdité. Tels sont les cercles géodésiques et astrono^ mdques qui sontsortis des ateliers de Lenoir et de Fortin.

Feu Reichenbachy de Munich, a construitdescercles répétiteurs qui ont aussi acquis une grande réputation. Ils sont principalement remarquables par l'exactitude de la division , la bonté des vis de rappel , et en ce que la lunette supérieure est adaptée à un cercle mobile tournant avec la plus grande liberté dans un autre cercle gradué. Le grand cercle astronomique de cet artiste, et dont M. Laplace a enrichi l'Observatoire royal, est un chef-d'œuvre d'exécution. Enfin les beau:!: et précieux instruments de précision que nous devons maintenant à l'habileté de M. Gambey, membre de l'Institut, nous dispensent d'être, à cet égard , tributaires de l'étranger.

DE LA. MESURE DES AliGLES ENTRE DEUX ORJETS.

H5. Avant de procéder à la mesure d'un angle, il est essentiel de s'assurer si les axes optiques des lunettes, c'est-à-dire si les droites menées par le centre de réfraction de chaque objectif et l'intersection des fils des réticules , sont exactement parallèles au plan du limbe : pour cela, on se sert d'une lunette dépreus^e. Cette lunette ep{PL /^0> V^^ n'a qu'un fil , traverse deux plaques carrées qq' parfaitement égales. Lorsqu'elle est placée sur le limbe disposé horizontalement , on voit à quelle ligne distincte d'un objet très-éloigné son fil horizontal répond; et si , en la renversant sur les faces qq opposées à celles 9Y5 ^^ ^ passe par la même ligne apparente, on est sûr alors que l'axe optique est exactement parallèle au limbe. Si au contraire cette épreuve fait connaître que l'axe optique passe par une autre ligne, il sera nécessaire dans ce cas d'élever ou d'abaisser le réticule de la lunette de la moitié de la distance des deux lignes observées; ce qui se fait au moyen d'un tourne-vis qu'on implante dans la tête de lavis de rappel de ce réticule. Cette vérification étant faite, et la lunette d'épreuve restant dans la même situation , l'on dirige sur sa ligne de repère les deux lunettes de l'instrument; et si les fils horizontaux de leurs réticules, ou bien si les intersections des fils inclinés d'un demi-quadrant n'y répondent pas, on les y amène au moyen des vis d erappelr des réticules; après quoi les axes optiques des trois lunettes se trouvent parallèles au limbe.

On peut se passer de lunette d'épreuve par le procédé suivant. Après

17a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

avoir rendu vertical le plan du limbe et mis le cercle azimutal dans une position horizontale, à l'aide d'un petit niveau /m', on amène la lunette supérieure sur un objet éloigné, ensuite on fait faire exactement une demi-révolution à l'instrument, puis on ramène la lunette sur l'objet; alors si l'intersection des fils du réticule s'est écartée du premier point de mire dans le sens horizontal, cela vient évidemment de ce que l'axe optique n'est pas parallèle au plan du limbe ; dans ce cas l'on amène l'intersection des fils au milieu de l'intervalle, à l'aide de leur vis de rappel. Pour vérification l'on recommence cette opération plusieurs fois, et quand on est sûr que le parallélisme existe, il ne reste plus, pour l'établir relativement à la lunette inférieure, qu'à faire coïncider son axe optique avec celui de la lunette supérieure. Ce procédé, dont il est facile de se rendre raison , serait exact sans les imperfections peut-être inévitables de l'instrument; aussi vaut-il mieux, pour plus de sûreté, recourir à la lunette d'épreuve.

Lorsqu'on doit observer une flèche, on trouve quelquefois qu'il est plus commode et plus exact de l'amener à l'intersection des fils inclinés, ainsi qu'il vient d'être dit. Mais il est à propos de remarquer que de quelque manière. qu'on dispose ces fils pour l'observation, il faut préalablement les vérifier dans la situation qu'on aura adoptée, parce que, comme ils ont dans chaque lunette un mouvement commun, il arrive souvent que, par un petit défaut de construction, leurs intersections ne répondent pas précisément au même point, dans les deux positions que l'on peut donner aux réticules; et c'est ce qui ferait que les angles seraient souvent observés dans un plan autre que celui sur lequel on compte les grades ou les degrés. Enfin , il est important de rendre l'objectif fixe à l'égard du tube de la lunette; car, comme le centre de figure et celui de réfi*action ne coïncident pas toujours, l'axe optique se dérangerait dans le cours d'une observation, si Fobjectif venait à tourner sur lui-même.

Maintenant , pour mesurer un angle entre deux objets terrestres , il faut d'abord amener les axes optiques des lunettes dans le plan de cet angle, et les y conserver pendant tout le cours de l'observation. Pour cet effet, l'on commence par disposer le limbe du cercle de manière que son plan passe à très-peu près par les deux points de mire; or, c'est à quoi l'on parvient en bornoyant à la vue simple, et inclinant seule-

ment le limbe, en faisant tourner un peu, s'il est nécessaire, tout l'instrument sur sa colonne , jusqu^à ce que les objets paraissent à égales distances du limbe. Ensuite , Tùn des observateurs (car il est bon d'être deux pour s'entr'aider et éviter beaucoup de lenteurs et tâtonnements) rendant la colonne immobile, donne un mouvement de rotation au limbe , jusqu'à ce que la lunette supérieure fixée à zéro soit dans la direction de l'un des objets, de celui de droite, par exemple. Le second observateur, de son côté , place la lunette inférieure, rendue libre, dans la direction de l'autre objet; et chacun choisissant une vis du pied de l'instrument, la plus voisine du vertical de son oculaire, la fait mouvoir pour amener l'image de l'objet dansle champ de sa lunette, et ensuite à l'intersection des fils.

Ce procédé est évidemment fondé sur ce principe, qu'un plan est donné de position lorsqu'il passe par deux droites qui se coupent, ou lorsque, passant par un point, il est assujetti à être parallèle à ces mêmes droites. Ceux qui commencent à faire usage du cercle , ont quelquefois de la peine à se rendre ce procédé familier, quoiqu'il soit fort simple , et qu'il réussisse d'autant mieux qu'on a eu la précaution de disposer une des branches du pied dans la direction de la ligne qui divise à peu près en deux parties égales l'angle à mesurer. Cependant s'il arrivait que, par une position particulière du cercle , les deux mouvements imprimés en même temps aux deux lunettes avec les vis du pied se nuisissent continuellement , il faudrait déranger un peu là direction des pieds , afin de détruire cet eftet et de parvenir au but qu'on se propose d'atteindre. Delambre a donné une formule pour éviter les tâtonnements à cet égard; mais avec un peu de pratique, on est toujours dispensé d'en faire usage.

Supposons donc que les axes optiques soient dans le plan de l'angle à mesurer , et que les divisions du limbe , selon l'usage en France , soient numérotées de gauche à droite; on amènera, i*^ sur l'objet à droite la lunette supérieure toujours fixée sur zéro , en faisant tourner le limbe , après avoir isolé la vis tangente des filets de la vis du tambour , ou desserré là pince qu'on lui a substituée ; ensuite , en faisant tourner cette vis lentement, lorsqu'elle aura été remise en action.

a**. On amènera la lunette inférieure sur l'objet à gauche, d'abord en desserrant son agrafe pour la rendre libre , puis en faisant jouer la

vis de rappel de Fagrafe rendue fixe : alors quand les deux lunettes seront exactement dirigées sur les deux objets , on aura la première partie de l'observation.

3^. Sans déranger les lunettes, on désengrenera la vis tangente, et l'on fera tourner le limbe , en dirigeant la lunette inférieure sur l'objet à droite; et , pour l'y fixer, l'on fera engrener la vis tangente. De cette manière, l'objectifde la lunette supérieure aura été repoussé dansleméme sens d'une quantité égale à l'angle mesuré; et s'il arrive que le cercle ne soit plus dans le plan des objets, on l'y remettra à l'aide des vis du pied.

4^. On amènera enfin sur l'objet à gauche, la lunette supérieure rendue libre, et on l'y fixera en serrant son agrafe; par ce. moyen, cette lunette aura décrit un arc égal au double de celui qui mesure l'angle proposé. On lira l'arc parcouru par la ligne de foi du vernier, et la moitié de cet arc sera la mesure de l'angle observé , abstraction faite toutefois de la petite erreur causée par l'excentricité des lunettes.

Cette mesure s'obtient donc à l'aide de deux observations conjuguées. Dans la première, la lunette supérieure est fixe à l'égard du limbe, tandis que l'inférieure est mobile. C'est tout le contraire dans la seconde observation.

En répétant l'opération précédente i, a, 3, 47« • • fois, et partant toujours du point où la lunette supérieure est arrivée sur le limbe , à la fin de la seconde observation conjuguée ou de l'observation paire, on aura évidemment le quadruple, le sextuple, l'octuple, etc., de l'angle , pourvu qu'on ne néglige pas de tenir compte des icirconférences entières parcourues.

116. Il existe un autre procédé pour mesurer un angle avec le cercle répétiteur; le voici. Au lieu de faire des observations croisées j comme ci-dessus , on fixe d'abord la lunette supérieure à zéro , et on la dirige sur l'objet à droite; ensuite on y amène la lunette inférieure, qui ne sert plus alors que de repère , et, sans faire tourner le limbe , on pointe la lunette supérieure , rendue libre , sur l'objet à gauche , ensuite on la fixe. De cette manière, l'angle est mesuré exactement par l'arc que cette lunette a parcouru lorsqu'elle n'a point d' excentricité j c'està-dire quand le plan mené par l'axe Y du cercle {PL III) contient en entier l'axe ab de cette même lunette. Si l'on veut continuer d'observer

Tangle proposé, pour compenser les erreurs du pointé , et atténuer surtout celles des divisions du limbe, on fera tourner l'instrument en désengrenant la vis tangente , afin de ramener la lunette supérieure sur l'objet à droite, et on l'y fixera; ensuite on y ramènera la lunette inférieure pour la faire servir de repère, et l'on dirigera , comme la première fois, la lunette supérieure, rendue libre, sur l'objet à gauche. Alors la ligne de foi du vernier de cette lunette marquera le double de l'angle observé. On peut continuer d'opérer de la même manière pour avoir le triple, le quadruple, etc., de cet angle; mais ce procédé exige évidemment plus de temps que par les observations croisées, lorsqu'on veut atteindre le même degré de précision.

117. Dans les grands cercles, la lunette supérieure entraîne ordinairement quatre verniers disposés à angles droits, ou à peu près, afin de pouvoir lire sur quatre points différents de.la circonférence du limbe, et obtenir par là une moyenne plus indépendante des erreurs de la division et de celles de la lecture. Supposons, par exemple, qu'on lise les quantités suivantes au commencement de l'opération :

verniers i®' a® 3® 4*^

(a) o,ooo, ioo,oa5, 1999985, 3oo,oi5,

et qu'après la dixième observation de l'angle , ces verniers marquent respectivement les nombres suivants , en tenant compte des circonférences entières parcourues durant la série ,

(b) 548^,1 la, 648^,108, 748*,ioo, 848^, io5;

on prendra le complément à l'unité , des parties décimales comprises dans la ligne (a), toutes les fois qu'elles appartiendront à des nombres au-dessous de 100, aoo ou 3oo; et l'on affectera tous les restes du signe négatif. Ici Ton aura

[a') H- 0,000, +o,0'^5, — o,oi5, +o,oi5.

On procédera de même par rapport aux parties décimales comprises

dans la ligne [b)j si les nombres dont elles dépendent n'ont pas tons le même chiffi*e aux unités. Or, dans le cas actuel , cette circonstance n'ayant pas lieu , on a

,rc j^e 3e ^e .

[b') -+-o,iia, 4-0,108, +0,100, +o,io5.

Ensuite on fera une somme des fractions [a')^ qui sera +o,oa5, que l'on retranchera de celle des fractions (ô'), c'est-à-dire de -+-o,4a5; puis l'on divisera le reste +o,4oo par 4> ^tle quotient +0,100 sera la partie décimale à ajouter au nombre 548^; de sorte que le décuple de l'angle mesuré sera définitivement 548^, 100; donc l'angle simple = 54^810.

On voit clairement par cette méthode., qui est générale, que le quart de la somme des nombres de la ligne {a') marque le point de départ d'un vernier moyen parcourant Tare moyen entre les quatre; tandis que le quart de la somme des nombres de la ligne {p') désigne le point d'arrivée de ce même vernier.

Mais il y a possibilité de simplifier un peu le calcul précédent. Pour cela, ajoutez toutes les décimales de la ligne (a), et ôtez de la somme autant d'unités qu'il se trouvera de verniers marquant moins de 100^, ou aoo ou 3oo: ici Ton a o,0!i5.

Ajoutez de même toutes les décimales de la ligne {h) , et ^tez de la somme, ou ajoutez-y autant d'unités qu'il y aura de nombres où le chiffi*e des unités aura une valeur moindre ou plus forte que celui qui se trouve dans le nombre marqué par la ligne de foi du premier vernier. Enfin , de cette somme , ainsi diminuée ou augmentée s'il est nécessaire , soustrayez la première et divisez le reste par 4 > c'està-dire par le nombre des verniers; le quotient sera la partie décimale moyenne cherchée.

Voici le cas. Au commencement les verniers marquaient

0,000, 100,001, 199^9989 3oo,oo3;

à la fin de la dixième observation , ils indiquaient

532^,001, 63i*',998, 732*',oo3, 83à^^ooa-

Or, dans la première ligne, la somme des décimales diminuée de l'imité , = OyOoa

dans la deuxième ligne, cette somme diminuée de l'unité. = o,oo4

différence. = o,ooa

\ = o,ooo5

Autre exemple. Au commencement, les verniers marquaient

0,000, 100,001, 199,998, 3oo,oo3;

à la fin de la dixième observation l'on avait

4^1,998, 52a,ooi, 6ai,997, 721,996.

Or, la somme des premières fractions diminuée d'une unité = 0,00a celle des secondes fractions augmentée d'une unité. ..... =r 3,99a

diflFérence. • = 3,990

de là arc parcouru = 4^1^79975, et angle mesuré * = - — '^^

On peut aussi se dispenser de faire la soustraction indiquée, en prenant le complément arithmétique et à Tunitéde la somme des parties décimales marquées par le vernier au commencement de la série ; ou , ^e qui revient au même et ce qui «st plus simple , on lit le vernier à contre-sens, en mettant par la pensée 10 à la place de zéro, et récipro- •quement. Bien entendu qu'il faut alors oter du résultat autant d'unités qu'on a pris de compléments , si les verniers marquent des nombres au"^essus de 100, aoo et 3oo^.

A moins qu'on n'ait peu de temps pour observer, il est toujours utile de noter tous les angles d'une même série , afin de pouvoir s'assurer 'de l'uniformité de sa marche. Voici l'ordre que l'on peut suivre à cet égard :

ij8

NOMBRE des