DE LA M£&UR£ DES DISTANCES ZIÎNITHALES

il9. La distance au îfénith d^un objet est le complément de sa hauteur angulaire, ou sa dépression augmentée de 100 grades, ou, ce qui revient au même , l'angle entre cet objet et le zénith de l'obser* vateur • Avant d'observer une distance zénithale , on mettra le limbe du cercle dans la situation verticale ainsi qu'il suit.

On disposera l'axe Y du limbe [PL V^X VI) dans une position à peu près horizontale , en desserrant la pince du quart de cercle et en renversant le limbe: ensuite, après avoir amené la bulle d'air du grand niveau df^M milieu du tube, ce qui se fera d'abord en rendant libre la lunette inférieure, puis serrant son agrafe et faisant usage de sa vis de rappel , on fera tourner tout l'instrument sur sa colonne S , de manière que l'index , ou la ligne de foi du cercle azimutal zz'^ partant de la ligne de division qui se trouve vis«à-vis un des pieds de l'instrument, de V par exemple, parcoure une demi-circonférence. Si, dans cet état, la bulle d'air, après quelques oscillations, ne se fixe pas d'ell^méme au milieu du tube , l'axe de la colonne ne sera pas dans un plan vertical ; alors on fera la correction moitié avec la vis du pied Y qui se trouve précisément au-dessous du grand niveau , moitié avec la vis de rappel R' de la lunette inférieure.

i8o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

On ramènera Findex du cercle azimutal au point de départ ; et si , dans cette première position , la bulle ne conserve pas le milieu du tube, on fera la correction qui vient d'être indiquée. On continuera cette épreuve jusqu'à ce que la bulle revienne d'elle-même entre ses repères dans les deux positions de l'instrument. Alors Taxe de la colonne sera dans le plan vertical passant par zz\

Ensuite, si après avoir placé l'index à loo* du point où il se trouve maintenant, la bulle ne rentre pas entre ses repères, on Yj ramènera en faisant la correction moitié avec la vis V, moitié avec la vis V", c'est-à-dire en élevant l'une et abaissant l'autre d'une égale quantité. De cette manière, l'axe S de la colonne du cercle se trouvera à la fois dans deux plans verticaux, et sera par conséquent vertical. Ainsi, quelque part que soit placé l'index du cercle azimutal, la bulle reviendra au milieu du tube pour s'y fixer. Cependant, si l'instrument a quelque petit défaut de construction , ou bien si l'opération que l'on vient d'indiquer n'a pas été feite avec toute l'exactitude possible , la bulle sera errante, lorsqu'on fera tourner la colonne S, et qu'on arrêtera l'index sur différents points de la circonférence ; U faudra donc pour la rendre stationnaire au milieu du tube, faire de légères cor- f

rections, en procédant comme ci-dessus. Au surplus, la verticalité de la colonne n'est pas d'une nécessité absolue ; elle dispense seulement de caler sans cesse les niveaux quand observe une distance au zénith.

Enfin, l'on mettra avec beaucoup de soin le limbe de l'instrument dans la position verticale , à l'aide du fil-à-plomb dont il a* été parlé à l'art. 113; ou mieux encore, au moyen d'un niveau à bulle d'air disposé pour cet effet. Alors , si le petit niveau gh que porte l'axe Y du cercle est incliné à l'horizon , on le calera au moyen de la vis de rappel qui y est adaptée, et l'on serrera la pince du quart de cercle, afin que le limbe ne puisse se déranger à l'égard de l'axe de la colonne. Lorsqu'en manœuvrant l'instrument, l'horizontalité du petit niveau n'aura plus lieu , on la rétablira en tournant dans le sens convenable la vis du pied qui se trouvera à peu près dans la direction de ce niveau, et cela afin de remettre le limbe vertical.

Maintenant, pour mesurer une distance au zénith, l'observateur ^xera à zéro l'un des verniers de la lunette supérieure bien équilibrée , et placera cette lunette à sa droite , si les divisions de l'instrument sont

numérotées de gauche à droite; ensuite il la dirigera sur l'objet, en dégageant la vis tangente , puis faisant engrener cette vis pour procurer un mouvement lent à cette lunette. Alors Taide observateur placera horizontalement la lunette inférieure qui porte le grand niveau , en la faisant mouvoir indépendamment du limbe. Lorsque la bulle restera au milieu du tube j en même temps que le point de mire sera sous le fil horizontal du réticule , ce que chaque observateur saura en s' avertissant mutuellement 9 on aura la première partie de l'observation, et le cercle sera à la droite de celui qui pointe sur l'objet.

On fera ensuite tourner tout l'instrument sur sa colonne , jusqu'à ce que l'index du cercle azimutal ait parcouru une demi-circonférence, c'est-à-dire que le limbe soit à la gauche de l'observateur dans le vertical de l'objet; et pendant que l'aide observateur, toujours placé à l'opposé des divisions du limbe , ramènera la lunette inférieure dans la position horizontale pour caler le grand niveau, en faisant tourner le limbe à l'aide de la vis tangente du tambour , l'observateur fera mouvoir la lunette supérieure, qu'il aura rendue libre, jusqu'à ce que le point de mire soit exactement sous le fil horizontal. Pour parvenir à ce but , il aura soin de serrer l'agrafe de cette lunette et de faire usage de la vis de rappel. Mais ce mouvement, imprimé à la lunette supé«* rieure, aura pu déranger la bulle du grand niveau; il faudra donc la replacer entre ses repères, ou la caler en faisant tourner la vis tangente , et ensuite ramener l'axe optique de la lunette supérieure sur le point de mire, au moyen de sa vis de rappel. Lorsque le grand et le petit niveau seront calés, et que l'objet sera en même temps sous le fil , on aura la seconde partie de l'observation , et l'arc parcouru par la ligne de foi du vernier de cette lunette sera le double de la distance zénithale cherchée.

En efifet, soit G le centre du limbe {PL ^, n° a), AB la direction de la lunette lors de la première observation , et CH la ligne horizontale déterminée par le grand niveau. Lorsqu'on tourne le limbe à gauche pour faire la seconde observation conjuguée, et que l'on cale derechef le niveau, la lunette supérieure prend la direction A'B', c'est-àdire qu'elle fait avec la ligne horizontale GH le même angle qu'auparavant, mais en sens contraire. Donc le point O, d'où l'on compte les grades^ se trouve alors en O'; donc, si l'on détache la lunette supé-

iSa TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

rieure pour la ramener sur l'objet B, le point O' reviendra en O, en parcourant Tare OZO^ Mais oet arc est évidemment le double de la distance zénithale ZGO cherchée ; donc à la fin de la seconde observation conjuguée, on a le double de cette distance.

En répétant plusieurs fois de suite cette opération, et partant toujours du point où s'est arrêtée la ligne de foi du premier vemier à la fin de la secondé observation conjuguée, l'on parviendra au quadruple, au sextuple, etc. , de la distance zénithale, et l'on atténuera les erreurs du pointé et de la division , comme dans la mesure des angles entre les objets terrestres.

Nous prescrirons de mettre , avant tout , une des branches du pied de* r instrument <lans le plan de l'angle à mesurer; voici pourquoi. Dans la deuxième partie de l'observation , Ton est obligé, pour caler le grand niveau, de faire tourner le limbe autour de son axe ; mais les filets de la vis tangente qui produit ce mouvement, étant trop espacés les uns des autres, il n'est guère possible d'amener exactement par ce moyen la buUe au milieu du tube. Aussi, quand la correction est légère , vaut-il mieux la faire avec la vis Y du pied , qui se trouve précisément audessous du grand niveau, et qui procure un mouvement très- doux, surtout si > au lieu de cette vis, on fait agir celle de l'étrier ee' sur lequel elle pose. On peut aussi , par la même raison , amener le fil horizontal de la lunette sur l'objet, avec cette même vis, lorsqu'on fait les observations impaires , puisque alors cette lunette est fixée au limbe. Ce u^ouvement de la vis dont il s'agit ne dérange pas le limbe de sa position verticale, ce qui est évident.

Les cercles où la graduation se lit de droite à gauche , exigent qu'en commençant la mesure d'une distance* zénithale , * la innette soit à gauche , sans quoi l'angle observé serait la distance au nadir de l'objet ou le supplément de sa distance zénithale.

120. Malgré toutes ces précautions, il en est encore d'autres à prendre pour obtenir la plus grande précision possible. Par exemple, comme on n'est pas toujours sûr que le point de mire soit exactement sous l'axe du fil , il importe , pour ne pas tenir compte de la demi-épaisseur de ce fil , s'il est d'un diamètre assez sensible , de mettre successivement ses bords supérieur et inférieur en contact avec le point de mire ;

parce que si Tangle observé est plus petit dans Tobservation impaire , il sera plus grand de la même quantité dans Tobservation paire ^ ou réciproquement.

De plus, comme il est commode de mettre le point de mire à une petite distance du fil vertical , et que rien ne peut faire juger de la parfaite horizontalité de l'autre fil, voici la manière de se prémunir contre l'erreur que causerait la petite inclinaison de ce dernier fil.

Si , lors de la première partie de Tobservation^ le point de mire m ( PL f^j n^ i) parait dans la lunette à la droite du fil vertical AV, îl sera réellement entre ce fil et le limbe , puisque les objets sont vus renversés ; et l'angle HAX représentera l'erreur commise sur la distance zénithale , si Rh est la vraie position du second fil à l'égard de l'horizontale AX. Mais la lunette se renversant dans la deuxième partie de l'observation , il s'ensuit que le fil AH sera incliné dans le même sens par rapport à l'observateur* Si donc on place l'image du point de mire en m'y c'est-à-dire à gauche du fil AV et de manière que km' = Am , la nouvelle erreur faite sur la distance au zénith sera xAk , c'est-à* dire égale, mais de signe contraire à la précédente; ainsi, il y aura compensation. Il est donc évident que le point de mire se retrouvera réellement entre le fil vertical et le limbe, et au même point physique.

Dans tout ceci nous avons fait abstraction de l'excentricité de la lunette supérieure , parce qu'elle n'existe pas dans les cercles que l'on construit maintenant; d'ailleurs, eût-elle lieu comme dans la figure citée , la mesure des distances au zénith ne subirait pour cela aucune correction , parce que celle qui est relative à la seconde observation conjuguée est égale et de signe contraire à la correction qui se manifeste pendant la première observation , ainsi qu'il est aisé de s'en assurer.

Les distances zénithales des objets terrestres servent pour réduire les angles à l'horizon , et faire connaître les différences de niveau des stations. Il est cependant nécessaire d'avertir que ces distances zénithales sont quelquefois affectées d'une erreur constante y lorsqu'on <^re avec un grand instrument : erreur attribuée à la flexion de la lunette supérieure , lorsqu'elle n'est pas parfaitement équilibrée , et que nous ap* prendrons plus tard à évaluer.

121. S'il arrive que le lieu de l'observation ne permette pas de faire

i84 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

faire au limbe une demi-révolution , dans ce cas on le laisse dans la position la plus favorable, et l'on mesure la distance zénithale, en faisant des observations successives analogues à celles décrites à l'article 116; c'est ce que Ton concevra encore mieux par ce qui suit.

Après avoir mis le cercle dans la position verticale , dirigez la lunette supérieure , mise à zéro , sur un objet très-éloigné ; amenez-y aussi la lunette inférieure , afin de rendre les deux axes optiques parallèles. Cela £siit , et sans détacher du limbe la lunette inférieure , calez son niveau à l'aide de la vis tangente , puis rendez libre la lunette supérieure 9 pour la pointer sur l'objet dont on désire connaître la distance zénithale, et fixez-la dans cette position ; alors l'arc qu'elle aura parcouru sera l'angle de hauteur ou de dépression cherché.

Pour doubler cet angle, refaites la même opération comme si la lunette supérieure était fixée sur zéro. Cette lunette parcourra ensuite un nouvel arc qui, étant ajouté au premier, sera la mesure du double de l'angle cherché. On pourrait de même se procurer le triple, le quaduple, etc., de cet angle. Mais l'on conçoit bien qu'il sera affecté d'une erreur occasionnée par le défaut de parallélisme de l'axe optique de la lunette inférieure et de l'axe de son niveau , qui est dépourvu de moyens de rectification : c'est là ce qu'on nomme l'erreur de colli" mation. Or la différence entre la mesure de la distance zénithale d'un objet , obtenue de la sorte et celle donnée exactement par le premier procédé décrit ci-dessus , sera cette erreur dont il faudra alors tenir compte dans la première mesure.

122. Il est à propos de dire comment on détermine le degré de sensibilité.du grand niveau. Pour cet efifet , mettez le limbe vertical , comme pour prendre ime distance au zénith ; fixez la lunette supérieure à zéro , et dirigez-la sur un objet quelconque, en faisant tourner le limbe avec la vis du tambour, jusqu'à ce que cet objet soit sous le fil horizontal. Desserrez la lunette inférieure , pour amener une des extrémités de la bulle du grand niveau vis-à-vis le trait de division extrême de la règle qui supporte ce niveau , et voyez si la lunette supérieure ne s'est pas dérangée. Ensuite faites tourner la vis du tambour, jusqu'à ce que la même extrémité de la bulle arrive à l'autre trait de division extrême , pourvu toutefois que l'autre extrémité de la bulle n'atteigne pas celle

du tube, ensuite, ramenez la lunette supérieure sur le point de mire, en faisant usage de sa vis de rappel. Enfin , lisez le nombre de parties de la règle parcouru par la bulle ; ce nombre n sera celui qui correspond à l'arc décrit par la lunette supérieure. Mais cet arc étant trop petit pour pouvoir être lu exactement , recommencez la même opération comme si la lunette supérieure partait de zéro , et vous aurez le double de l'angle correspondant au même nombre de parties d'inclinaison du niveau. Continuez de la même manière jusqu'à ce que vous ayez, par exemple ^ le décuple de l'angle cherché. Enfin, divisez cet

angle A par le nombre n de parties , et le quotient - sera le nombre

de secondes correspondant à une partie d'inclinaison du niveau.

On est surtout obligé d'évaltrer cette inclinaison , lorsque l'on opère avec un cercle à nis^eaujixe. Ce niveau, au lieu d'être adapté à la lunette inférieure, est fixé sur la colonne, et se trouve par conséquent tout à fait indépendant du limbe; ce qui est quelquefois à regretter. Il est cependant des observateurs qui préfèrent le niveau fixe au niveau mobile, parce que l'on observe avec une très-grande promptitude les distances zénithales des objets terrestres et des astres.

125. Pour observer avec un niveau fixe , on donne toute liberté au limbe de tourner lorsqu'il est vertical. Cependant on peut l'arrêter au besoin, au moyen d'une forte pince, qui fait corps avec la colonne; ou bien on lui imprime un mouvement de rotation très-lent, à l'aide d'une vis de rappel adaptée à cette pince. Quant au grand niveau qui est , comme nous venons de le dire , fixé sur la colonne et entièrement isolé du cercle, il ne sert que pour mettre vertical l'axe de cette colonne, ou pour en faire connaître l'inclinaison. Ce niveau a aussi sa vis de rappel pour le caler, et est placé parallèlement au limbe.

Ceci étant bien compris, voici la manière de mesurer l'inclinaison de l'axe de la colonne , et d'évaluer son effet sur les distances zénithales.

Représentons par B la longueur actuelle de la bulle d'air du niveau , et supposons que l'artiste ait eu le soin de mettre le zéro de l'échelle exactement au milieu de cette bulle, lorsque le tube est horizontal. Dans cette position , les extrémités de la bulle marqueront les mêmes nombres; et si l'on retourne le niveau bout pour bout sans changer la

i86 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

position du plan sur lequel ce niveau repose , la bulle , après.quelques oscillations, rentrera entre ses repères. Mais si l'on élève une des extrémités du niveau, l'extrémité droite, par exemple , la liqueur obéissant à la loi de la pesanteur, se déplacera , et portera la bulle vers la partie élevée ; en sorte que l'extrémité droite de cette bulle marquera -j B + X = D parties de l'échelle , tandis que l'extrémité gauche marquera |^ B — ^ = G; puisque nous supposons que le tube est bien calibré , et que la bulle , pendant l'expérience , conserve sa longueur. Or^ ^.désignant, en parties de l'échelle, l'inclinaison de l'axe du tube , on a aor = D — G ; c'est-à-dire que le double de cette inclinaison est égal à la dififérence des nombres marqués par les deux extrémités de la bulle , quand le plan sur lequel s'appuie le niveau est horizontal. .

Mais donnons au plan , dans le sens de la longueur du niveau , une inclinaison jr telle que l'extrémité droite de la bulle marque

|BH-xH-7-=D;

alors 'l'extrémité gauche marquera

|B — jc — j = G.

Maintenant si nous retournons bout pour bout le .niveau, sans rien changer d'ailleurs à la ^position du plan , l'extrémité droite de la bulle donnera

lB-ar-^J=D,;

celle de gauche donnera au contraire

ainsi , de ces quatre équations l'on tirera

ax = D — D|, ou a: = ,

« — G, ou X = ,

aj^=D-G,, ou ^ = --, a^ = D,-G, ou ^ = -— — ;

de là les deux règles suivantes , données par Delambre ( Astronomie, tom. I, p. 82) :

1®. Le double de V inclinaison du tube est égal à la différence des deux nombres de la droite; le second nombre se retranche du premier.

Si X est positif, le bout du tube qui était d^ abord à droite, est plus élevé que celui qui était à gauche; si x est négatif, c'est le contraire.

a**. Le double de V inclinaison du plan sur lequel s* appuie le nisfeau, est égal à la différence des nombres indiqués successisfement par Vex-^ trémité qui était dabord à droite; le second nombre se retranche du premier.

Sijr est positif, c'est la partie droite du plan qui est la plus éleyée; ce serait le contraire si y était négatif.

Ce que nous disons du plan , doit s'entendre de Taxe de la colonne -du cercle qui porte le niveau. Ainsi , dans l'observation d'une distance zénithale avec un cercle à niveau fixe , on doit toujours considérer la même extrémité physique de la bulle avant et après le retournement dii cercle y pour évaluer l'inclinaison de l'axe de la colonne.

Supposons 9 par exemple , que le cercle étant dans sa première position , G soit l'extrémité de la bulle dirigée vers l'objet , et D soit l'extrémité située du côté de l'observateur. Dans la seconde position du cercle , les mêmes extrémités physiques changeront de nom , puisque le bout du niveau qui était tourné vers l'objet sera au contraire tourné vers l'observateur; ainsi D deviendra G| et G deviendra D,. Si donc dans le cours d'une observation de distance zénithale ^ on lit à chaque position du cercle les parties du niveau marquées par les deux extrémités de la bulle , afin d'obtenir plus de précision , et qu'on désigne généralement par G les parties correspondantes au même instant à l'extrémité objet, par D les parties correspondantes au même instant à l'extrémité observateur, les diverses valeurs de j seront renfermées dans les deux suites suivantes :

ik*.

NOMBBE

OBSBRVATIONS.

objet obéerrateur

observât, objet.,

D, Gî

D« Gs

Limbe à droite.

Limbe à gauche.

Il faut faire attention que si le niveau , supposé perpendiculaire à l'axe de la colonne , est élevé du côté de D ou de l'observateur , cet axe prolongé vers le zénith passera entre ce point et le rayon visuel dirigé sur l'objet. Or, comme on rapporte la distance zénithale à l'axe de rotation du cercle pris pour verticale apparente, il est clair que l'inclinaison de cet axe doit s'ajouter à la distance zénithale observée : c'est en effet ce que suppose le tableau précédent.

Toutes les valeurs de a/*,, a/,, , ojr^ , . . . données par la même extrémité physique de la bulle, seraient égales entre elles, si Taxe de rotation n'éprouvait aucun dérangement pendant tout le temps qu'on observe; il en serait de même des valeurs de a^', a^", a^'", . • • De plus, ces deux séries seraient identiques; mais comme il n'en est pas tout à fait ainsi , il est convenable de prendre la moyenne entre toutes les valeurs précédentes de^, c'est-à-dire de faire une somme de toutes les différences a^', a^", ... , a^^, a^,,, ... , et de la diviser par le double du nombre des observations simples. De cette manière , on aura un arc * moyen ^, lequel étant converti en secondes (art. 122), s'ajoutera à l'angle observé , ou s'en retranchera , selon que la somme des termes positifs sera plus grande ou plus petite que celle des termes négatifs .

Pour plus de clarté , voici une série que nous prîmes à l'Observatoire du Dépôt de la Guerre, avec un grand cercle de Lenoir , auquel cet artiste avait adapté un niveau fixe.

NOMBRE des