CHAPITRE IV

P£ LA CORRECTION A FAIRE AUX ANGLES MESURES AVEC LE CERCLE Rlép^TITEUR, A RAISON DE l' EXCENTRICITÉ DES LUNEITES.

128. Quoiqu'on ne soit plus dans l'usage de rendre les deux lu« nettes excentriques, nous allons cependant donner la formule de correction qui convient à ce cas général.

Nous avons déjà dit que Texcentricité d'une lunette est la distance de son centre à l'axe de rotation du limbe. Soit CE = e {fig- i8) l'excentricité de la lunette supérieure; CD = e' l'excentricité de la lunette inférieure; D la distance de l'objet à droite; G celle de l'objet à gauche; et supposons toujours que les divisions du limbe se lisent de gauche à droite.

Lors de la première observation d'un angle entre deux objets A, B, la lunette supérieure, fixée sur zéro, a la position A£, et la lunette inférieure est dirigée suivant BD. Pour faire la deuxième observation conjuguée, on amène cette lunette inférieure sur l'objet de droite, en faisant tourner tout Tiiistrument sur son axe; et l'on dirige la lunette supérieure, rendue libre, sur l'objet de gauche, en sorte qu'elle prend ]a position BE\ Or il est visible que cette lunette , à la fin de la seconde observation , a décrit une quantité angulaire égale à la somme des angles EŒ', DCiy .

Gela posé, si l'on désigne par x l'angle cherché BGA, et par m l'arc DD' + EË' parcouru sur le limbe, la mesure de l'angle DGF sera

7" = AGE +BGD -hJc; elle sera encore

7 = BGE ' + ACD ' — X -h wi î

mais vu la petitesse des angles ou des parallaxes a, a', /3, j3 V

ACE = 100*^ — a = 100* — —, BGD =100 — â =; 100 — î^, BCE'=ioo -^'=100 -^, ACiy=ioo —a' =100 ^^\

ainsi , après avoir égalé les deux valeurs de y y simplifié et réduit en secondes (art. 91), on aura, pour la correction cherchée,

2D sin 1 * 2G sin 1 * '

laquelle s'ajoutera à l'angle doQné immédiatement par l'instrument; pour avoir le véritable angle de position ACB.

Cette formule , qui est générale , nous apprend , i ^ que si les deux excentricités sont ^ales et opposées , comme dans la PL III j la correction est nuUç; 2^ que si les deux excentricités sont égales et du même côté, cette correction est, abstraction faite du signe, double de celle qui a lieu quand la lunette supérieure n'est point excentrique.

Il faut pourtant prévenir qu'il est très-rare que l'on soit obligé de corriger les angles mesurés , de l'excentricité des lunettes; parce que cette correction est d'autant plus petite, que les côtés des triangles $ont plus grands. Delambre, qui n'a donné cette correction que pour le c^s ou e = o, l'a réduite en table, en supposant successivement e' = — 16, = — 18, = — 20 lignes {^ojrez à ce sujet la page loa de la Base cfu Système métrique décimal ^ tome I) .

Quant aux distances zénithales, elles ne sont point affectées de l'effet de l'excentricité de la lunette supérieure , comme nous l'avons déjà fait remarquer (art. i!^0). Mais ces distances pourraient, malgré tout, pécher par défaut, d'une quantité constante sans qu'on s'en aperçût. Cela arriverait infailliblement si la lunette supérieure était décentrée, c'est-à-dire si l'anneau qui la retient à Taxe du limbe avait jun petit jeu à l'égard de cet axe. Cette erreur du centrage ne peut

LÏVRE TROISIÈME. 199

avoir lieu dans les cercles de Reichenbach et de Gambey , parce que , d'une part, l'axe dont il s'agit est conique, et que, de l'autre, la lunette se trouve toujours en contact immédiat avec cet axe , par l'effet d'un petit ressort qui tend sans cesse à la faire avancer vers le plus gros bout. Cependant les cercles à axe conique et de grandes ^dimensions ne sont pas toujours exempts d'une erreur constante , provenant d'une autre cause, ainsi que nous l'avons déjà dit (art. 120).

Faisons voir, par un exemple numérique, l'effet peu sensible de l'excentricité de nos cercles actuels , et supposons pour cela ê = o , e' = — ao lignes = — o™,o45a, D z=z 24000™, G = aSooo™; la formule ci-dessus se réduira à

de là

2 aDsini^ aGsini* ^

log^c' = 8,3541 c.logsinT = 5,8039

c.log D = 5,6198 c.logG = 5, 6021

log i^^ terme = 9, 7778 log 2® terme = 9, 7601

I®' terme, -+- o*,5995 2* terme 9 — o ,0756

Correction -+- 0^,0239

Ainsi la correction d'excentricité serait,, dans ce cas, de o'',02 de la division centésimale, et sans doute bien au-dessous de l'erreur de l'observation .

11 est facile de reconnaître que l'effet de l'excentricité des deux lunettes sur les trois angles d'un triangle se réduit à zéro; car, en désignant par a, 6, c les cotés, d'un triangle, l'effet de l'excentricité sur chacun de ses angles sera

pour l'angle A , -^^ -^ ,

pour l'angle B^

e — tf' € — e'

pour l'angle C, -^3 — r

d'où l'on voit que ces trois valeurs étant réunies , se réduisent à zéro.

Dans les théodolites de Gambey à deux cercles gradués , et dont les divisions se lisent de gauche à droite , la lunette attachée au cercle vertical a une assez forte excentricité à l'égard du centre du cercle horizontal, considéré comme celui de l'angle à mesurer; mais comme cette lunette est douée d'un mouvement complet de rotation verticale, on peut annuler la correction d'excentricité par lé procédé que voici :

D'al>ord on mesurera une première fois un angle en ayant la lunette à droite et commençant par pointer sur l'objet de droite ; puis une seconde fois , en ayant la lunette à gauche , et finissant par pointer sur l'objet de gauche. En continuant ainsi un nombre pair de répétitions, le multiple de cet angle, lu sur le limbe et divisé par ce même nombre de répétitions, sera exactement l'angle simple.

Si cependant l'on était dans la nécessité d'observer en ayant cons* tamment la lunette du même côté, la correction d'excentricité à appliquer à l'angle mesuré aurait pour expression

VDsini* GsiniV'

selon que cette lunette serait à droite ou à*gauche de l'observateur.