CHAPITRE Y
DE LA REDUCTION DES ANGLES d'uN PLAN A UN AUTRE PLAN.
Réduction à V horizon.
129. Quand les angles de position ne sont pas situés dans le plan horizontal mené par le lieu de l'observateur , et que les lunettes de l'instrument dont on se sert restent constamment parallèles au limbe j comme dans les cercles répétiteurs, ces angles de position doivent être réduits à l'horizon de leurs sommets respectifs. Les éléments de cette réduction sont , pour chaque angle , les distances zénithales des deux objets observés.
Soit z [Jig. 19) le zénith de l'observateur, qui du point C a observé l'angle BCA incliné à l'horizon WCAJ. Cet angle aura, pour projection horizontale, l'angle B'CA' qu'il s'agit de trouver, et qui est formé par les plans verticaux ACA', BCB', dans lesquels sont situés respectivement les signaux A A^ BB^ Mais l'angle B'CA' est le même que l'angle sphérique z du triangle zab formé par trois arcs de grand cercle, dont l'un za est la distance au zénith de l'objet A ; l'autre zby la distance au zénith de l'objet B; et le troisième ai, la mesure de l'angle observé BCA. Donc, si ây &' sont les distances au zénith connues za^ zb, et que C soit l'angle de position BCA, on connaîtra les trois côtés du triangle sphérique abz; ainsi, en se conformant à la notation actuelle, l'angle z sera donné par la formule de l'art. 74 , savoir :
2 V smosina'
aoa TRAITÉ DK GÉODÉSIE.
s désignant la somme des trois côtés Cy â^ ^'j et le rayon des tables étant égal à l'unité.
Soient
angle de position , C = 65^,4^6 dist. zénithale de A , d^ = 86 ,a5o dist. zénithale de B, (^' = 85 ,400
on aura somme s = a 37 ,106
1^ somme -= 118 ,553 ii8«^,553
'-^&= 32,3o3 --(?'= 33,153; let Topératioo , par les logarithmes , sera
logsîn/- — tJ j =logsm3a*,3o3. . . 9,6865639
iogsinf- — ^M =log8in 33 ,i53. . . 9,6968333
compl. log sin d^ o,oioao95
compl. kg sin ^' 0|Oii5aa4
log sin* ^z i9,4o5i^8o
moitié, ou log sin^js 9,7oa564o = 33*^,639a;
ainsi, la projection de l'angle O, ou cet angle réduit à l'horizon
Il est bien rare que les distances au zénith soient aussi petites que dans l'exemple ci-dessus; et si elles ne différaient de l'angle droit que de ^ ou 3 grades, la formule précédente deviendrait trop pénible à calculer, pour avoir avec exactitude la projection de l'angle observé. En général , il vaut mieux chercher la réduction , qui n'est ordinairement que de quelques secondes , et qui s'obtient par la formule suivante :
a: = |sinï^[aoo«-(c^+t^')]» tangue -|sini^(c^-c^')*cot^C;
c'est-à-dire par celle (a') de l'art. 96, dans laquelle on a mis ioo« — i pour a, et 100* — c^' pour /3; ou bien par celle (i) du même art. , si les angles a , |3 sont plus grands que 3 grades.
Supposons qu'un angle observé ait pour valeur G = 56*^,965a , et qu'il soit compris entre deux objets dont les distances zénithales soient
on aura & + &' = 177 ,3o55
&^r = , o ,7995 par suite
2oo« ((? + (?') = a,6944" =py {à- n = û,7994' = î-
I*''' terme positif. 2*^ terme négatif.
log^sin I == 3,59406 logjsini* = 3,69406
a \ogp = 8,8609a a log q = 7,8o55a
logtang^C = 9,68111 logcot^C = 0,31889
réduction + 84 ,53
angle de position. . . . 56«,965a ,00
angle réduit à l'horizon, 56^,9736 ,53 (*).
Le calcul de cette réduction s'efFecttie aussi au moyen des tables I et II , qui se trouvent à la fin de cet ouvrage , et qui sont indépendantes des logarithmes. La première a pour argument l'angle observé, c'està-dire le nombre qui sert pour entrer dans cette table, et vis-à-vis du-
(*) Il est évident que si l'on s^était servi d'un cercle divisé en 36o degrés, et que les valeurs depetq fussent exprimées en secondes sexagésimales, il suffirait de remplacer, dans les deux termes ci-dessus , le log constant S^Sg^oS par log 7 sin 1'^ = 4)08351 .
2o4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
quel on trouve un des facteurs des termes de la réduction. La seconde table a pour argument aoo» — (d^ + d^') ou d^ — d^' , et donne les autres facteurs dés termes dont il s'agit.
Par exemple, avec l'angle observé qu'on vient de déduire, les colonnes de la table I , intitulées tangentes et cotangentes , donnent , en termes concrets ,
et avec les angles aoo» — (d^ + d^') et d^ — d^' la table II donne les deux autres facteurs en nombres abstraits , savoir :
multipliant respectivement par ceux- ci les deux précédents et opérant par la règle abrégée , qui est très-connue , les deux termes de la réduction seront
+ i36%8a, —Sa', 29;
réunissant ces deux produits, qui sont toujours de signes contraires, on aura enfin, comme ci-dessus, pour la réduction totale, + 84*j53.
Des tables toutes semblables, calculées dans le système sexagésimal , ont été données pour la première fois par Delambre , qui les a reproduites dans la Base du Système métrique décimal : quand on voudra en faire usage , et qu'on aura observé un angle avec un cercle divisé en grades , on réduira cet angle en degrés , ainsi qu'il suit :
Soit proposé de convertir en degrés sexagésimaux
l'angle de 101^,66950
on retranche le dixième. 10,166950
on a pour reste en degrés et décimales 9i^,5o255o
multipliant la fraction par 60 , on obtient 91 3o',i53
multipliant encore la fraction décimale par 60, il vient
enfin en degrés, minutes, etc 9i°3o'9",i8.
S'il s'agissait de résoudre le problème inverse , on s'y prendrait de la manière suivante. Pour convertir en grades, par exemple, l'angle de 9î°3o'9'',i8, on réduit les secondes en fractions décimales de mi-
nutes, en divisant 9", 1 8 par 60, et il vient 9i**3o',i53
on réduit les minutes en fractions décimales de degrés,
en divisant de même par 60, et l'on trouve 9i°,5oa55
on ajoute le neuvième 10,16695
el Ton a en grades 101^,66950
Ces deux règles sont évidemment fondées sur ce que le grade est au degré dans le rapport de 10 à 9. Les Tables trigonométriques décimales de Borda sont terminées par une table de conversion de ce genre, qui n'exige que de simples additions.
Lorsque les distances zénithales doivent être employées, comme dans l'exemple précédent , pour réduire les angles à l'horizon , il est nécessaire qu'elles soient observées avant, ou immédiatement après ces derniers, afin qu'elles se rapportent autant que possible aux mêmes circonstances atmosphériques, quoiqu'une erreur de plusieurs secondes soit à cet égard de peu d'importance.
On conçoit aisément que lorsque les trois angles d'un triangle sont réduits à l'horizon, ils représentent ceux d'un triangle sphérique dont les côtés sont compris entre les verticales des trois signaux observés, si toutefois les observations ont été faites dans l'axe même de ces signaux : autrement il faudrait réduire les angles horizontaux aux centres des stations, afin qu'ils jouissent de cette propriété; c'est ce que nous enseignerons bientôt.
Réduction des angles horizontaux aux angles des cordes.
130. Il est peu de praticiens qui, à l'exemple de Delambre, réduisent les triangles sphériques aux triangles rectilignes formés par les trois cordes , pour déterminer, par le moyen de ceux-ci , les distances respectives des objets. Cette méthode, qui a tout le degré d'exactitude que l'on peut désirer, mais qui est trop longue, exige que l'on réduise d'abord les angles horizontaux aux angles des cordes, et que l'on substitue ensuite à la ligne géodésique, prise pour base, la distance rectiligne qui joint ses extrémités (art. 108). De ces deux problèmes, le premier est le seul qui nous intéresse pour le moment , et se trouve résolu à l'art. 64 : car soit le triangle sphérique ABC [fig. ao) qu'il faille
uo6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
réduire au triangle rectiligne A'B'C; si a^b, c sont les côtés du premier, opposés aux angles A, B, C^ eta% b% c' les côtés du second , opposés aux angles A', B', C; que du point C, comme centre, on décrive avec un rayon = i , les arcs z'a', 2'/3', a' j3', et qu'on mène aux arcs by aies tangentes ou les horizontales CT, CT'; l'angle de dépression T'CB, formé par une corde et une tangente , aura pour mesure ^ a, ou la moitié de l'arc connu AC. De même l'angle de dépression TCA sera = 1 A.
Cela posé , l'arc z' /3' = i oo« — i ^ , l'arc z' a' = i oo« — 1 6 , et l'angle horizontal TCT' est donné; ainsi dans le triangle sphérique z'a'^'j on connaîtra deux côtés et l'angle compris : reste donc à trouver le troisième côté a' ^\ ou l'angle C qui est l'angle horizontal réduit à l'angle des cordes. Mais sans faire usage de la formule de l'art. 64, laquelle serait d'ailleurs peu propre à donner l'angle cherché avec précision , vu la petitesse de a et de i, il est clair que la question à résoudre est précisément l'inverse de la précédente. Si donc on dénote par w la réduction cherchée , et par C l'angle horizontal connu , on aura (art. 96) ,
et à cause de — a=:-, — j3=-,
(^ = ~i(^^*ytanglCsin i'' + i(^y
formule dans laquelle aetb sont toujours de même signe. Pour en faire l'application , il faut commencer par calculer approximativement les côtés des triangles considérés comme rectilignes, en supposant que les observations ont été faites aux centres des signaux, ensuite convertir les côtés aetb en minutes centésimales.
Si , pour se conformer aux notations ultérieures , on désigne a par K, et i par K', et qu'on représente par G la longueur du grade moyen pour le lieu où l'on opère; ces arcs seront convertis en minutes centésimales , par ces formules
ioo\K , ioo\K' ? = -G-' "? =~G~-
Mais cette conversion , pour l'objet qu'on se propose, sera sufïisam-
ment exacte en supposant la Terre sphérique , et par conséquent G de 100 000 mètres; donc alors
^ fooo ^ 1000
Supposons y par exemple,
K = a4iio™, R' = aSgSo*",
et l'angle observé réduit à l'horizon , ou
on aura
y=:îi4\ii, 9' = 25^93 ; et par suite
i ou P ^ iV,o5
- ou P' = I a ,96
Maintenant avec les nombres P+P', P— P', on trouvera dans la table II 9 les facteurs 0,039 0,000
avec l'angle horizontal 68^,03. . . on trouvera dans la table 1 et aux colonnes intitulées tang^ cot^ — 37%68 •+• io7%65;
multipliant ces quantités par ordre, on aura, pour le premier et le deuxième
terme de la réduction . ^ i%47 •+- o*,oo*
Or, l'angle horizontal C = 68^,0334960
donc , l'angle nèduit au plan des cordes ,
ou :c= 68^0333^,73.
Ddambre a csiployé cette méthode dans le caicul des triangles de
2o8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
la méridienne. Nous reviendrons sur ce sujet; cependant nous ferons observer, pour le moment, que l'évaluation des arcs en minutes se ferait avec plus de précision , si Ton connaissait leur véritable rayon de courbure ; mais , dans l'ignorance où l'on est à cet égard , il convien t de prendre le degré de la sphère dont la surface s'écarte peu de celle de la Terre, dans le lieu de l'observation. Or on verra, par la suite, que le degré moyen considéré comme la 36o® partie de la circonférence entière , est à peu près , en France , de 670 1 5* = D ; en sorte que le rayon
de la Terre exprimé en même mesure, ou p = ; 7r,= 3,i4i59a
étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. 11 est clair que Ton
a aussi p = , puisque les arcs semblables sont proportionnels à
cllv I
leurs rayons.
Partant ,
log rayon en toises = 6,5 i4i 1 17
ajoutant le logarithme constant 0,11898:100
on a log rayon en mètres = 6, SoSqS 1 7 ;
résultat qui diffère peu de celui-ci 6,8o388oï , que l'on trouve «n considérant le quart du méridien sphérique de 10 millions de mètres.
Réduction ctun angle pris dans un plan à un autre plan incliné
à Phorizon.
151. IjC centre de l'instrument et le point de mire n'étant pas ordinairement les mêmes dans chaque station , c'est ce qui est , en partie , cause que les trois angles d'un triangle rectiligne diffèrent de deux angles droits. Si donc l'on ramenait au plan des trois centres des stations les angles observés entre les sommets des signaux, ces angles ainsi corrigés serviraient à faire juger du degré d'exactitude des observations ; mais la réduction dont il s'agit pourrait aussi faire connaître l'effet de la réfraction terrestre sur les angles observés.
Soient deux signaux AA', BB' {fig. 19) observés du signal zC. Si C, a% h' sont les centres des stations, et que l'on ait relevé l'angle
ACB=: c; l'angle a' Cl/ sera dans le plan des stations, et l'excès de l'angle horizontal sur l'angle observé sera , d'après Fart. 96,
jo =/?* tangue — q^col^c. (i)
L'angle a^Cb^ étant très-peu différent de ACB , on aura de même
oc' =zp'^ tangue — q'^ cot^Cj (a)
x' désignant aussi l'excès de l'angle horizontal sur l'angle a'Cl/. Maintenant il est évident que puisque ACB + x = a'Cl/ •+• x% on a
a'Cl/ — ACB = ;r — x';
ainsi , les équations (i) et (2) étant soustraites l'une de l'autre , il viendra, pour l'expression de la différence cherchée ,
x — x' = {p^ —p'^) tangue — (9^ — î'^)cot|c. (3)
Mais si les angles sous lesquels on voit du point C les hauteurs Aa'j Bl/ sont représentés par &H. , e^H', les hauteurs angulaires des points de mire A et B au-dessus de l'horizon étant toujours désignées par H, H', on aura, par rapport aux hauteurs des points de station a'j l/y
p' = |(H + H') - K^H -*- ^H' ), et 9' = i (H - HO - i (c?H - c?H' ) .
D'ailleurs
et si Ton fait attention que
l'équation (3) deviendra , en réduisant en secondes ,
a:-a:' = i(?5^)[H + H'-i((JH-^(JH0]tangic, - i (^^i^) [H - H' - i {&H - cJH')] cotic.
Cette formule, comme nous l'avons déjà dit, peut servir à évaluer l'effet de la réfraction sur l'angle observé , et cela en y mettant pour ^H et d^H' la valeur de cette réfraction déterminée à priori par une méthode que nous exposerons au chap. xx de ce livre ; mais nous ne donnerons aucun exemple numérique à ce sujet, parce que les besoins de la Géodésie ne le réclament nullement.
aïo TRAITÉ DE GÉODÉSIE
