A1B = 0 + IA
et par rapport au triangk MC ,
AIB = C-4-CB0.
Égalant ces deux valeurs, on obtient
C = O + lAO - CBO.
D'un autre côté l'on a
sin CAO = '-^(2-±^^ sinCBO = :f^;
mais les angles CAO, CBO étant toujours fort petits, leurs arcs peuvent être pris pour leurs sinus; donc la réduction en secondes est
^ Q ^ r^^4^) rrinj^^ ' (,)
Dsin r' Gsm i" ^ ^
L'usage de cette formule très-simple ne peut, dans aucun cas, être embarrassant, pourvu que Ton ait égard aux signes de sin (0+^) et de sin jr ; ainsi le premier terme de la correction sera positif si l'angle O -+-^ est compris entre o et aoo«, et il deviendra négatif s'il surpasse 200^; le contraire aura lieu dans les mêmes circonstances, pour le second terme qui dépend de V angle de direction y.
11 est remarquable que D est la distance de l'objet à droite, et G la distance de l'objet à gauche. Quant à l'angle j^, c'est toujours celui sous lequel paraissent le centre de la station et l'objet à gauche; ainsi , quand on a mesuré l'angle de position AOB, la lunette supérieure est dirigée sur l'objet à gauche B, et l'inférieure sur l'objet à droite A ; alors celle-ci restant fixe sur A , si l'on fait mouvoir*la lunette supérieure dans le sens de la lecture de la graduation, jusqu'à ce que son axe réponde au point C , l'arc qu'elle aura parcouru sur le limbe sera la mesure de l'angle jr^ qui doit toujours se compter suivant l'ordre des numéros de division de l'instrument, et dont la valeur peut aller depuis o jusqu'à 4oo*. •
Nous supposons ici que la graduation est numérotée de gauche à droite ; mais si elle l'était de droite à gauche , comme sur les cercles allemands et quelques théodolites de Gambey, il faudrait changer D en G, et réciproquement, dans la formule (i); parce qti'alors^ serait l'angle entre l'objet de droite et le centre de la station , mesuré comme il vient d'être dit. On pourrait aussi, sans opérer ce changement,
ail TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
prendre encore pour^ l'angle compris entre le centre de la station et l'objet de gauche 9 en laissant libre le limbe pour amener la lunette supérieure sur le centre , puis arrêtant le limbe en ce point et détachant la même lunette pour la diriger sur l'objet de gauche. En effet ^ l'arc parcouru par la lunette suivant l'ordre des numéros de division serait évidemment la mesure de l'angle de direction. De cette manière la formule (i) est générale: elle se réduit à un seul terme , lorsque l'une des distances D^ G est comme infiniment grande par rapport à r; ainsi, selon que A ou B sera le centre d'un astre , on aura simplement
c-o=-^„ ou c-o=^y+/).
De plus , on aurait G — 0 = o, siAetB étaient deux objets célestes , ou bien si A étant un astre et B un objet terrestre , le centre O du lieu de l'observation était en même temps dans la direction G, et vice versa ^ auquel cas j- = o, ou^ = — O.
Mais sans supposer infinie aucune distance D, G, on peut encore
avoir C — O = o ; alors
sin^ G^
sin(0-f-7)~D'
et comme dans le triangle ABC y on a
sinA sinA G
sinB ~ sin(A + C) D'
il s'ensuit que
sin^ sin A
sin(C-+-/) ~ 8in(A-+-C)'
Mainfenant développant les dénominateurs, il vient
sin^ sinA
sinGcos7 + cosGsiQj^ sin AcosC + cosAsinC
OU bien
sin C cot^ + cosC cosC -h cot Asin G' donc
tangT" = tang A = tang (aoo» + A) ;
ce qui signifie que les quatre points A , B^ C ^ O sont suf une même circonférence de cercle.
Il suit de là que pour que l'angle réduit soit égal à l'angle observé , il suffit de se placer de manière à ce que ^ = A ou = aoo*^ + A , c'està-dire sur la circonférence du cercle circonscrit au triangle ABC. Pour éviter tout tâtonnement à cet égard , Delambre observe et démontre (page 24» Déterm. dun arc du mérid.) que l'on peut se placer sur la tangente au cercle ABC, menée par le point C et le plus près de ce point qu'il sera possible, et même à plusieurs mètres sans inconvénient ; mais pour cela, il faut connaître l'un des angles A, B, afin de pouvoir déterminer la direction de la tangente.
155. Si plusieurs angles consécutifs O, O', O", O'" étaient situés dans un même plan, oblique à l'horiison , si l'on veut, on les réduirait tous au centre C , à l'aide d'un seul angle de direction j et de la distance au centre r: alors, par rapport à l'angle CK, l'angle de direction serait
y =jr +0; par rapport à O",
par rapport à O',
L'angle O'*' étant censé achever le tour de l'horizon, la réduction qui lui convient doit être égale à la somme de toutes les autres réductions prises avec un signe contraire. Pour le prouver, soient s, s', s", f les réductions correspondantes des angles O, O', O", C^; on aura
C = Oh-6, C' = 0'4-6', C"=0" + é", C" = 0"' + 6%
d'où
C -H C -(- G" + C" = O 4- CK 4- O" -h O" -h (6 -h 6' -h £"+ £-).
Or, par hypothèse, les angles C, C',..., aussi bien que les angles O, 0',...,font un tour d'horizon; donc l'équation précédente ne peut subsister, à moins qu'on n'ait
2i4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
donc
Enfin y quand même les plans des angles O', O",... seraient différemment inclinés à l'horizon, les éléments^ et r pourront seuls être employés, pourvu que l'angle O soit horizontal; mais avant de faire usage de la méthode actuelle, il faudra réduire à l'horizon les angles O', O",... Au surplus, quand les objets sont fort près de l'horizon de l'observateur, ainsi qu'il arrive toujours dans les triangulations du premier ordre, il est indifférent de réduire d'abord à l'horizon l'angle observé, ou de le réduire au centre de la station pour le ramener ensuite au plan horizontal.
134. Nous avons déjà indiqué la manière d'obtenir l'angle de direction ; cependant il est utile ici de faire connaître plus particulièrement le procédé que l'on suit dans cette circonstance. On détache la lunette supérieure pour la diriger sur le centre de la station , en fixant deux points marqués sur le haut du tube, l'un près de l'oculaire, l'autre près de l'objectif; mais la vis du réticule et celle de la petite pièce cylindrique qui entraîne le verre objectif, ont ordinairement assez de saillie au-dessus du tube, pour servir de points de mire.
Supposons, pour fixer les idées, que cette lunette, au moment du départ, marque 9761^,2, et qu'arrivée dans la direction du centre, après avoir marché de gauche à droite, c'est-à-dire suivant l'ordre des numéros de division du limbe, elle marque ioo45*,3!a
Qu'au moyen d'un second mouvement donné à la même lunette , en la ramenant sur le centre de la station , elle réponde à 10045 ,28
Qu'après un troisième essai tout semblable , elle marque. ioo45 ,3o
Prenant le tiers de la somme de ces trois quantités, on
aura ioo45 ,3o
De ce nombre, retranchant celui du point de départ, 97^1 ,20
la différence sera l'angle de direction ^ =294^10.
Il faut bien prendre garde, à chacun de ces essais, que l'instrument ne se dérange : on s'assure qu'il a gardé sa position primitive, lorsque l'axe optique de la lunette est resté dans la direction de l'objet de droite :
ft'il s^en était écarté, il faudrait l'y ramener en tournant la vis du tambour, et diriger de nouveau la lunette supérieure sur le centre de la station. Quelque attention que Ton prenne pour avoir la mesure exacte de l'angle de direction , il reste toujours à cet égard une petite incertitude, mais elle n'est d'ailleurs d'aucune conséquence. 11 n'en est pas de même de la mesure de la distance du centre de l'instrument à l'axe du signal : celle-ci doit être prise avec beaucoup de soin , et l'on peut se servir à cet effet d'un cordeau que l'on dirige dans le sens de la lunette supérieure dont l'axe répond au centre de la station.
135. Nous ferons remarquer en outre que si la lunette supérieure était excentrique , il faudrait, à la rigueur, faire une correction à l'angle de direction observé; mais les cercles actuels en dispensent.
Passons maintenant au calcul de la réduction au centre , et pour cela donnons à l'équation (i) la forme
— ^ rsin(0+r) sinrl ""sini" L D ^ y
en faisant g = C — O.
Soit l'angle de position O = 48^,756,
l'angle de direction jr = 294, i ,
la distance au centre r = 3™, 267,
la distance à l'objet de droite D = 175218'", logD = 4)a4373,
celle à l'objet de gauche G = ao345 , log G = 4>3o846.
1 •' terme de la correction. a* terme.
