première partie

réduction ê= -+- 8 ,982

angle observé. . • . O = 48^97^60 y

angle réduit au centre C= 48,7568,982

2i6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Ce calcul suppose que les distances à l'objet de droite et à celui de gauche sont connues, du moins par approximation. Ces distances peuvent se prendre sur le canevas trigonométrique dressé d'après une échelle 9 et sur lequel les angles construits à Faide d'un rapporteur représentent ceux de position; ce qui est suffisamment exact. Mais on évite cette construction préliminaire en résolvant tous les triangles supposés rectilignes, comme si les observations avaient été faites aux sommets mêmes , après avoir toutefois réduit à 200^ la somme des trois angles de chaque triangle (art. 100). Ce calcul, dans lequel on peut n'employer que les logarithmes à cinq décimales, s'effectue avec beaucoup de promptitude (vojrez la résolution des triangles, art. 150).

La réduction au centre s'obtient aussi à l'aide d'un seul terme ; en effet, la formule précédente pouvant s'écrire ainsi

^ ^ r.G.sin(0-4-r) — r.Dsinj

et le triangle ABC [Jig. oli) donnant

D.sinA

sin(AH-C)'

on a, à cause de O = C , du moins à peu de chose près ,

p D.sinA

^""sin(A-+-0)' et par suite

^ ^ rsinA.8in(0-+-7) — rsmjsin(AH-O)^

Li — \J OU £ — JT — : — 2 î

D.sinA '

puis développant et réduisant en secondes,

rsin O.sin (A — y)

D.sinA.sini'^

Quoique cette formule soit moins rigoureuse que celle dont elle dérive, elle est cependant d'une exactitude suffisante. Il faut bien re*

LIVBE TROISIÈME. 217

marquer que le sommet de l'angle A est l'objet de droite. Il est bien rare qu'on se trouve dans la nécessité d'en faire usage.

Centres invisibles des tours à bases circulaires.

136. Lorsqu'on observe au dehors ou au dedans des clochers, des tours, etc., leurs centres sont souvent invisibles ou inaccessibles. Voici les moyens les plus simples pour lever cet obstacle.

Si Ton est placé en O, extérieurement à la tour circulaire Tzï' [Jig, 212), on mènera les tangentes OT, OT', sur lesquelles on prendra deux distances égales et arbitraires 0.r, Oa:% de manière cependant que la ligne xx' soit le plus près possible de la tour dont C est le centre : on fera xm = x'/n, et Om sera évidemment dans la direction de ce centre. On mesurera alors l'angle COB =7", et à la distance O2 on ajoutera le rayon Cz pour avoir CO = r.

S'il était impossible de mesurer le rayon ou la circonférence du cercle TzVj on mesurerait l'une des tangentes OT, par exemple, et l'on aurait

«^ = ÔT'

puisque toute tangente au cercle est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure. Le reste de l'opération n'a maintenant aucune difficulté.

Il est à propos de remarquer que l'on a plus simplement l'angle^

ou COB = ; ainsi , l'on fera coïncider d'abord l'axe de la

lunette supérieure avec la tangente OT, ensuite avec la tangente OT', et l'on tiendra compte , chaque fois , du nombre de degrés marqué par cette lunette , qui doit toujours marcher dans le sens de la graduation : on opérera ensuite comme dans l'art. 134, pour trouver chacun des angles TOB, T'OB, dont la demi-somme = j^.

Lorsque l'on sera placé dans l'intérieur d'une tour circulaire, on fera en sorte que le centre de l'instrument soit sur le milieu de la corde qui passe par ce point; et la perpendiculaire à cette corde sera la direc-

21 8 th(aité de Géodésie.

tion du centre de la tour. Tous ces procédés sont si simples , qu'il est inutile d'insister sur leur développement.

Centres inwsibles des tours à bases polygonales.

137. Si l'on était en dehors de la tour rectangulaire DD' {Jig^ a3), en O par exemple 9 et que de ce point l'on pût voir les extrémités de l'une des diagonales DD', dd'^ on aurait l'angle de direction COB =^ par la méthode suivante :

On mènera une droite parallèle à DD', en partageant en parties proportionnelles les côtés OD, OD' du triangle ODD, et le milieu de cette parallèle sera sur la direction OC.

Autrement, on mesurera exactement la droite Op perpendiculaire à //D', ainsi que la partie pm comprise entre Op et la perpendiculaire Cm imaginée abaissée du centre de la tour sur le côté ^'D. Comme Cm est censé connu , on aura mq par la proportion

Cm -h Op : pm : : Cm : mq.

Ainsi la droite O^, dont la direction est maintenant déterminée, passera nécessairement par le centre C; on mesurera donc 0(/, et l'on aura

îC=V^

Cm 4- mç, et enfin

r=Oq + qC.

Ainsi, les deux éléments de la réduction de l'angle observé en O seront connus.

Il est visible que ce dernier procédé est général pour tous les polygones réguliers, soit que l'on soit placé dans l'intérieur, soit que l'on se trouve au dehors: toute la difficulté consiste, lorsque le centre est inaccessible , à déterminer l'apothème Cm du polygone qui l'entoure, et c'est ce que la Géométrie enseigne [vqjrez aussi sur ce sujet le Mémoire de Delambre sur la détermination (Vun arc du méridien).

Cependant s'il arrivait que Ton ne pût mener la perpendiculaire Op, on tirerait la droite Om, et l'on élèverait à D)> une perpendiculaire vers le milieu de pm. La partie de cette perpendiculaire comprise dans le triangle COm sera facile à déterminer par la théorie des lignes proportionnelles ; on aura donc la direction du rayon OC , et ce moyen est aussi général que le précédent.

Il est évident que tout ce qui vient d'être dit relativement aux tours rondes ou polygonales , s'applique mot pour mot aux poutres verticales qui peuvent embarrasser le centre de la station.

I^es signaux temporaires , contruits comme on l'a dit à l'art. 112, dispensent de cette réduction, qui est presque toujours une source d'erreurs , quand les éléments n'en sont pas bien connus.

aao TRAITÉ DE GÉODÉSIE.