DES SIGNAUX
138. Lorsque les signaux sont éclairés obliquement par rapport à l'observateur 9 et qu'ils ne se terminent pas en pointe , les angles observés ont besoin d'une correction; parce que si le signal abcd[Jig. 24) a pour base un rectangle , par exemple , et que ah j dont la position est connue par rapport aux stations environnantes, en soit la face éclairée, le rayon visuel OÂ , dirigé exactement sur le milieu de cette face y ne passera pas par le centre M du signal , si ab n'est pas perpenculaire à AO, et la correction additive ou soustractive sera égale à l'angle AOM.
Or
A i^TkjT AM sin AMO .
sm AOM = r^r ;
AU
et le triangle obliquangle AOM donnant
.^ OMsinAMO
sin (AMO + AOM)'
sm(AMO
on a, en substituant et développant,
TTT-. sinAMO
OM
tang AOM = — = tang x;
OM
^rr^COSAMO
OM
puis réduisant en série (art. 93), il vient
/AM\ sinAMO /AMysina(Al ~\0M/ sini'' "*"\0M; sin a''
(^^^ + etc. ,
ou simplement
/AM\ SJPAMO
ce qui est toujours suffisant.
Des deux angles BOA, B'OA observés, l'un doit être augmenté de x-^ l'autre doit en être diminué; cela est évident.
On voit bien à quoi serait égal l'angle A'OM, si l'on avait observé la face bd.
Pour plus d'exactitude , il faudrait en outre dégager l'angle AOM d'une très-petite correction due à une illusion d'optique qui résulte de ce que le rayon visuel dirigé du point O sur le milieu apparent de la face ab^ ne répond pas toujours exactement à son vrai milieu , ainsi qu'il est aisé de s'en convaincre ; mais cette correction peut toujours se négliger, parce qu'elle tombe au-dessous de l'erreur de l'observation; surtout quand les côtés des triangles sont fort grands.
139. Quand le signal est une tour ronde d'im grand diamètre, et que le centre est de même invisible, la correction est un peu plus longue à calculer, parce qu'il faut avoir recours à l'observation du Soleil.
Soit, dans cette circonstance, CS (fig. a5) le vertical du Soleil au moment de l'observation, c'est-à-dire l'intersection de l'horizon de la tour AMB avec le plan vertical dans lequel se trouve le centre du Soleil. MS = z sera l'azimut de cet astre compté depuis midi, et le demicercle ASB, dont le milieu est S, sera entièrement éclairé; parce que les rayons lumineux tangents à la tour peuvent être considérés comme , parallèles. Mais l'observateur en O , supposé très-éloigné du point C , et qui verrait à très-peu près la demi-circonférence DPE de la tour, si elle était assez éclairée , n'en verra au contraire de bien distincte que la partie APE dont le milieu apparent est p\ puisque l'arc AD est dans l'ombre.
Cela posé, lorsque du point O l'on observe Tangle entre un signal et la tour C, on pointe dans la direction Op, au lieu de pointer dans la direction OC; on commet donc l'erreur angulaire COp = Q qu'il s'agit d'évaluer. Or si l'on désigne par 9 l'angle OCS entre le Soleil et
la station O y par D la distance OC qui di£fère extrêmement peu de OA , par u l'angle AOp moitié de AOE , enfin par r le rayon AC ; le triangle obliquangle AOC donnera, sans erreur sensible ,
sin (m - e) = ^ sin (90^ — ?) = 5COS9,
et le triangle rectangle COE donnera exactement
sin(M+ 6) =g.
Soustrayant ces deux équations Tune de l'autre , après en avoir développé les premiers membres , il viendra
acosi^sind = -(i — cosç) = a. -sin^-^^ç;
d'où l'on tire
sm5 = -r î-i.
D cosu
Mais Tangle u j moitié de AOE ^ étant très-petit y l'on peut faire cos uz=zi; partant
(0 ô = J55:T^ = ^sinH(^-^),
^ D smi ' Dsinr ^ ^ '^
en désignant respectivement par x et z les azimuts de la station O et du Soleil S sur l'horizon de la tour.
Si )e Soleil et l'objet auquel on compare la tour sont du même côté, la correction d est additive ; s'ils sont de différents côtés , la correction est soustractive ; enfin si a: > z, le Soleil est à droite de l'observateur : tout cela est évident.
Il ne reste plus, pour calculer la formule précédente, qu'à déterminer x — z ainsi qu'il suit , lorsqu'on peut voir le Soleil de la station O.
Après avoir mis le limbe du cercle dans une situation verticale , et avoir fixé le mieux possible la lunette supérieure sur le centre du signal j on tiendra compte du nombre de degrés marqué par l'index du cercle azimutal; ensuite on fera tourner l'instrument sur sa colonne, suivant l'ordre des n®* de division de ce cercle , pour amener la même lunette dans le vertical du Soleil. L'arc parcouru par l'index sera , dans tous les cas 9 le supplément à deux angles droits de l'angle ^ — 2; car par ce mouvement l'index a décrit l'arc de droite ou de gauche COS', dont le supplément est PCS = x — z.
Si l'instrument n'a point de cercle azimutal , on le disposera horizontalement y et ensuite on dirigera sur le signal la lunette supérieure dont l'index est arrêté à zéro ; on y amènera de même la lunette inférieure. L'instrument étant fixe dans cette position , on imprimera un mouvement à la lunette supérieure jusqu'à ce qu'elle soit dans le vertical du Soleil j plan qui sera indiqué par un fiil à plomb placé près de l'objectif, et dont l'ombre devra se projeter sur la lunette dans le sens de son axe. L'arc parcouru sur le limbe sera l'angle COS' observé entre le Soleil et le signal, ou le supplément à deux droits de l'angle x — z.
A la rigueur, cet azimut, au commencement de l'observation, n'est pas le même qu'à la fin, parce que le Soleil s'approche ou s'éloigne continuellement du méridien du signal; mais pour un petit intervalle de temps , le mouvement de cet astre peut être considéré comme uniforme. Donc, si l'on prend un milieu entre les deux azimuts dont nous venons de parler, on aura l'azimut pour le milieu de l'observation , et c'est celui qu'il faut employer pour plus d'exactitude.
Supposonsl'azimutCOS' pris avant l'observation. , . . = 1 75^,35 et pris aussitôt après = 1 75 ,65
l'azimut pour le milieu de l'observation sera =.175 ,5o
dont le supplément à deux droits aoo
sera la valeur de l'angle JC — 2 = 124 ?5o
Maintenant si, dans la formule (i) , on a
r=4'",75, et D= i843a
on en obtiendra le résultat ainsi qu'il suit :
logR*. . . = 5,8o388
logr.. . . = 0.67669
log. sin4-(a: — r). . . =9.28157
Idem, . .= 9.28157 c.logD. . . = 5.73443
logÔ. . , = 0.77814 = 6".
La correction Q à faire à Fangle observé est donc ± 6* ; et le choix du signe est certain, d'après ce qui a été dit précédemment.
140. Ce sont surtout les phases des signaux, auxquelles personne avant Delambre n'a eu égard , qui produisent de grandes discordances dans les séries relatives à un même angle. Un Mémoire manuscrit que voulut bien me communiquer cet illustre astronome, et qui avait pour titre : Réflexions sur les différentes espèces de signaux ^ confirmait cette remarque, et faisait mention de toutes les dififérences entre l'angle plus grand et l'angle plus petit parmi ceux obtenus entre deux objets , dans l'opération de la méridienne. Il est donc bien important de faire im bon choix de signaux , et d'éviter parmi les monuments existants ceux qui , comme le belvéder de Cullan , auquel est du le grand écart de 18", 86 {Base du Système métrique, 1. 1, p. 221), ont la forme d'une pyramide octogone écrasée; car si , à une grande distance, les sommets de ces pyramides deviennent invisibles , le calcul des phases est nécessairement incertain , parce qu'on ignore à quelle hauteur on a visé. Un autre écart de i4'S98 se trouve p. 822, entre deux séries, l'une du matin, l'autre du soir, où les signaux étaient éclairés en sens contraires. « Méchain , dit Delambre, n'a publié que la moyenne entre les » deux séries , et cette moyenne est confirmée par une autre série ob- » servée dans l'ombre. Ces observations prouvent l'effet considérable » des phases ; elles prouvent en même temps qu'on peut les éluder » et les anéantir. » Néanmoins les signaux de réverbères paraissent à cet égard mériter la préférence, quoique ceux qui en ont fait usage aient trouvé des écarts de plus de 4"; aussi M. Laplace avait-il désiré
qu'on les employât pour la mesure de la grande perpendiculaire de Strasbourg à Brest, ainsi que nous l'avons déjà annoncé (art. 112). Quant à nous^ nous croyons qu'il est plus sûr d'établir des mires au centre même des stations choisies sur le haut des édifices, comme on Ta fait pour la triangulation primaire de la nouvelle carte de France , et qu'il vaut mieux observer de jour. Quelquefois un signal situé sur une hauteur qui borde l'horizon et qui réfléchit vivement la lumière du Soleil couchant s'observe de très-loin , même quand l'atmosphère n'est pas très-transparente. Par exemple, des disques réflecteurs construits d'après les idées de M. Gauss , et que ce célèbre géomètre appelle héliotropes, ont été employés avec succès par M. le général Schubert dans les opérations géodésiques qu'il a Élites en Russie en i8a3, et sans lesquels il lui aurait souvent été impossible d'apercevoir ses signaux.
