CHAPITRE VIII

DE LA MESURE DES BASES 9 DES MOTEKS d'eN RAMENER LES LONGUEURS A UNE TEMPERATURE UNIQUE, ET DE LES RlÎDUIRE AU NIVEAU DE LA MER.

141. La mesure des bases est une des opérations les plus délicates et les plus importantes de la Géodésie , lorsqu'il s'agit de déterminer rigoureusement les côtés d'un réseau trigonométrique. Il est essentiel que les bases soient , sinon les plus longues possible, du moins en rapport avec les côtés des triangles auxquels elles appartiennent ; qu'elles soient établies sur un terrain de niveau , ou plutôt que les lignes géodésiques qui les représentent soient situées dans des plans verticaux , et fassent par conséquent partie des grands cercles de la Terre ; que leurs longueurs soient déduites d'une unité de nifesure parfaitement connue et ramenée au même état de température ; car on sait que les métaux , les bois , etc. , passent par dififérents degrés de dilatation ou de contraction lorsque la température de l'atmosphère varie ; enfin , il importe que ces bases soient projetées sur une surface unique, telle que celle de la mer.

Les règles qu'on emploie dans la mesure des bases sont de métal , ou de bois, et représentent un multiple de l'unité de mesure, du mètre par exemple; elles doivent être étalonnées avec la plus scrupuleuse attention , c'est-à-dire comparées à cette unité , afin d'en connaître exactement les longueurs. Lenoir, qui fut un de nos plus habiles artistes, imagina pour cet effet un instrument nommé comparateur , parce qu'en superposant deux règles appuyées par un de leurs bouts sur une pièce d'arrêt de cet instrument , les plus petites différences qu'elles pré-

sentent à l'autre bout sont agrandies et mesurées avec une extrême précision , sur un arc de cercle gradué. On peut en voir la description et l'usage dans le 3® volume de la Base du Sjstème métrique décimal^ p. 447-

Nous venons de faire observer que l'influence du calorique sur les corps se manifeste par l'augmentation ou la diminution de leurs volumes , et Borda a trouvé que par chaque degré du thermomètre centigrade, le platine se dilate de o,ooooo8565 dans chacune de ses dimensions, le fer de 0,00001 156, et le cuivre jaune de 0,00001783; mais pour l'objet actuel , la dilatation linéaire des règles est la seule qu'il importe de connaître, afin de pouvoir prendre pour longueur d'une base celle qui répond à une température unique adoptée pour terme de comparaison.

Supposons, dans la vue de fixer les idées à cet égard, qu'une règle de cuivre, étalonnée à la température de 10 degrés du thermomètre centigrade, ait été trouvée précisément de même longueur que la règle de platine soumise à la même température , mais ne représentant le mètre qu'au terme de la glace fondante ; supposons en outre que l'on ait mesuré avec la règle de cuivre une longueur R à la température moyenne de 18°, on saura combien cette longueur contient de mètres ainsi qu'il suit :

Désignons d'abord par dilatation absolue la dilatation totale et linéaire qu'une règle de métal , d'une longueur déterminée, acquiert en passant d'une température quelconque à une autre plus haute : désignons de plus, dans les mêmes circonstances, par dilatation relative l'accroissement de longueur évalué en parties de la règle prise pour unité, au terme de la température la plus basse.

Cela posé , si P et C sont les dilatations relatives du platine et du cuivre , pour chaque degré du thermomètre centigrade , et que x soit le degré de température auquel il faut ramener la règle de cuivre, afin que sa longueur représente réellement le mètre; on aura, en prenant pour unité de longueur chacune des règles à la température de l'étalonnage ,

mètre de platine .. . = i — loP, mètre de cuivre. .•. = !— (10 — x) C;

égalant ces deux valeurs ^ on tire

Or en supposant , comme ci-dessus,

C = 0,00001783, et P = o,ooooo8565,

on obtiendra

a: = 5*^,2 centigrades:

c'est la température que doit avoir la règle de cuivre pour représenter le mètre.

Mais la base K ayant été mesurée à la température moyenne de 18^, et trouvée par conséquent trop courte, il faut, pour l'exprimer en mètres, la diviser par la longueur de la règle de cuivre ramenée à la température de 5®, 2 , ou, ce qui est de même, tenir compte de l'excès de température de 18^ — 5^,2 = 12^,8; partant,

longueur de la base en mètres = r^r = 0^ — ?

Donc, une longueur K égale à 10 000 fois la règle de cuivre vaudrait K -h 1 2,8 CK = loooo"^ -h 2^,2839 ; d'où l'on voit que la correction de température étant ici de 2™, 2839, ^ ^'^* P*^ permis de négliger cette correction , quand les bases et les distances des stations qui en dérivent doivent être mesurées avec une grande exactitude.

Remarquez qu'il est plus simple d'étalonner une règle d'im métal quelconque sur une règle de même matière, parce qu'alors il est inutile de constater le degré de température à laquelle cette opération a été faite. Si, par exemple, une barre de fer a été étalonnée sur un mètre de même métal , elle représentera la longueur réelle du mètre à la température de la glace fondante, c'est-à-dire 3^' ii'^«,296 de l'ancienne toise de l'Académie, prise à i3° du thermomètre de Réaumur.

Les astronomes français qui furent chargés de la grande opération

relative à la fixation du mètre définitif employèrent, pour mesurer leurs bases, des règles de platine et de cuivre, formant, par leur superposition, des thermomètres métalliques. Ces règles ne furent point mises en contact, afin d'évier Témoussement de leurs extrémités et l'effet du recul; mais le petit intervalle qui les séparait fut mesuré avec une languette ou réglette graduée, comme on le verra bientôt.

Dans les opérations géodésiques ordinaires, on peut, sans inconvénient, mettre les règles ou les perches bout à bout; mais il est utile de mesurer deux fois, et en sens contraire, la même base, et de prendre pour vrai résultat la moyenne des deux mesures obtenues. A défaut de règles de fer, on se sert avec avantage de verges de bois de sapin trempées dans rhuile bouillante, puis recouvertes d'un vernis épais; parce que , par cette opération , elles sont très-peu sensibles aux variations hygrométriques de l'air. Lajig. a6 représente la forme dune de ces verges; les branches du losange ABCD et la traverse CD servent d'arcs^ boutants à la règle AB, et l'empêchent par conséquent de se courber latéralement. On a au moins deux de ces verges, qu'on étalonne avec beaucoup de soin, et à chacune desquelles on donne communément 5 mètres de long. Leurs extrémités doivent être très-peu épaisses, garnies en fer et à vives arêtes, afin d'obtenir un contact parfait. Le mieux est que ces extrémités soient représentées l'une par un clou à tête ronde, l'autre par un clou à tête plate.

Avant de procéder à la mesure d'une base, on trace un alignement avec la plus grande précision possible, à l'aide de jalons ou perches bien droites garnies par le haut d'un petit carré de carton , et par le bas d'une pointe de fer, afin de pouvoir les ficher en terre. On fait disposer tous ces jalons en ligne droite ou dans un même plan vertical, au moyen d'une lunette placée à une extrémité de la base, et dirigée sur l'autre extrémité. Cette lunette doit se mouvoir dans le sens vertical, à la manière des lunettes des passages, afin de pouvoir l'élever ou l'abaisser selon que le terrain l'exige. Ensuite on place les règles sur un pont formé de plusieurs madriers calés solidement sur des trépieds ou chevalets : on les aligne avec le plus grand soin , et on les fixe sur le pont au moyen de brides, afin qu'en ôtant la première pour la placer en avant des autres, celles-ci n'éprouvent aucun dérangement. Comme il importe d'observer la température des règles, on

23o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

leur adapte des thermomètres , mais on prend la précaution de les préserver de l'action directe du soleil. Si ces règles , dont on doit soigneusement éviter la flexion , ne pouvaient être disposées horizontalement, on mesurerait leur inclinaison à Taide d'un niveau à perpendicule gradué, comme on le voit {fig^ 27); maisen les mettant constamment dans une situation horizonlale (ce qui, du reste, fait perdre beaucoup de temps), il est nécessaire, à cause des inégalités (lu terrain ou de son inclinaison, de leur faire faire des ressauts comme bcj de {fig. a8). Dans ce cas, on fait correspondre exactement l'extrémité postérieure de la règle cd à l'extrémité antérieure b de la règle ah : et c'est à quoi l'on parvient à l'aide d'un fil-à-plomb.

Nous terminerons nos remarques à ce sujet, parce que l'ingénieur intelligent saura suppléer à nos omissions, modifier selon les circonstances les moyens d'exécution et les procédés pratiques que nous indiquons, et donner aux divers instruments à employer dans la mesure des grandes bases, tout le degré de perfection dont ils pourraient être susceptibles.

142. La réduction des règles à l'horizon s'effectue très-faeilement. En effet, soient / une longueur quelconque, 6 son inclinaison, etxsa réduction à l'horizon, ou sa projection horizontale; on aura évidemment

a: = l cos 0.

Mais comme $, qu'il n'est pas nécessaire de connaître très-exactement, est toujours un très-petit angle, cette formule ne pourrait donner jr avec assez de précision (art. 91); il vaut mieux aloi*s calculer le petit excès de / sur x: ainsi l'on aura, en supposant Q donné en minutes,

/ - .r = /(i - cosQ) = a/sin« (^) = ^ 16* sin» i'.

Dans la pratique , on met cette formule en table , afin d'abréger considérablement les opérations numériques; et si les observations donnent le double de l'inclinaison d, on le prend pour argument, ce qui

dispense de faire chaque fois une division , et rend le résultat plus sûr. Dans ce cas, la formule se met sous cette forme :

/-a7 = l/sin2(ae).

Quant à la différence dn de niveau des extrémités de la longueur /, on voit bien qu'elle est égale à

dn = lsmd = LO sin i';

ainsi, la somme algébrique des dn donnera la différence de niveau des extrémités de la base. 'l'outefois il ne faut pas considérer cette différence comme étant rigoureusement déterminée par cette méthode ; car d'une part, les inclinaisons ô ne sont pas évaluées avec assez de précision, et de l'autre, les dn sont trop peu exactes et par trop multipliées.

En insistant sur la nécessité de faire les extrémités des règles d'une très-petite épaisseur, on a pour but d'atténuer les erreurs des contacts, qui ne s'opèrent pas toujours de la même manière, à cause des diverses positions des règles à l'égard de l'horizon : éclaircissons ceci par un exemple. Supposons que ab^ bcj rfe, fg soient quatre règles consécutives mises en contact, la première horizontale, et les trois autres inclinées, comme le représente la^yig^. 29. La longueur totale de ces quatre règles réduites à l'horizon , sera a'b' + b'c + d'& +J'g9 tandis que la distance horizontale a'gj ou la longueur réellement mesurée, sera plus grande que celle observée, de la somme des intervalles cd\ e! j* . Or, relativement à cd\ l'épaisseur de la deuxième règle est cd = e; si donc 9 est l'inclinaison de cette règle, on aura cd' = s sin ô. A l'égard de la troisième règle, son épaisseur sera seulement représentée par ef^=' ê'; si donc 6' est son inclinaison, on aura e!j' = i sin 6'; ainsi l'erreur des contacts est

£ sin ô -h g' sin ô'.

quantité qu'il faudra ajouter aux quatre longueurs des règles réduites à l'horizon , pour avoir la longueur vraiment mesurée ; mais cette correction pourra être considérée comme nulle par la précaution indiquée précédemment.

145. Il est sans doute beaucoup plus commode de choisir pour base un ligne droite , ou, pour mieux dire, une ligne exactement située dans un même plan vertical ; mais il est des cas où cela est impossible. Les bases de Melun et de Perpignan mesurées par Delambre , offrent en effet chacune l'exemple d'une ligne géodésique brisée, dont les extrémités étaient même à quelque distance des deux termes choisis pour centres des stations. •

Soient ACB [Jig. 3o) une ligne brisée ; S, V les extrémités de la véritable base , SA et VB des droites respectivement perpendiculaires aux deux arcs sphériques AC, BC mesurés, et G Tangle horizontal que forment ces deux arcs. Le triangle ABG étant réellement sphérique , il faudra, avant de calculer la distance AB pour en déduire ensuite YS, trouver l'excès sphérique de ce triangle (art. 100), retrancher de Tangle G le tiers de cet excès , et faire usage de la méthode de l'art. 92 pour calculer la base AB et les angles GAB, GBA.

Si au contraire on adoptait le procédé de Delambre (art. 130), on retrancherait de chacune des deux parties AG, BG de la base brisée, la quantité dont elles surpassent leurs cordes respectives, ainsi que nous allons le faire voir ; on réduirait à ces cordes l'angle horizontal , et l'on prendrait pour base véritable la corde qui joint les points A et B, et qui s'obtient par la résolution d'un triangle rectiligne.

En désignant par b le côté d'un triangle sphérique très-peu courbe , pour ime sphère dont le rayon = i , et par k la corde correspondante , on aura, par la première des séries de l'art. 91,

è — 2sin4^6 = 6— /:=:-T.

Lorsque B est la longueur d'un arc, et K celle de sa corde, pour un rayon = |ô, on a évidemment

donc

b^k ou i = iiy.

Tel est l'excès de l'arc sur sa corde, dans la supposition que b fait

partie du rayon pris pour unité; mais cet excès sera donné en même mesure que le rayon de la Terre, en multipliant par p la valeur de e, \ ^ c'est-à-dire qu'alors

B — K ou 2 = ^?J.

Enfin ^ Ton aura 2 en secondes, à l'aide de la formule

L'arc ou la corde AB, ainsi que les angles CAB, CBA, étant déterminés par le moyen que l'on vient d'indiquer, on résoudra les petits triangles rectangles SAa, VBé, dans lesquels on connaîtra les angles et les hypoténuses SA, VB; et il ne s'agira plus, pour obtenir SV, que de calculer son excès sur Y a! = ba : or, dans le triangle rectangle

Sa'V, on a VS*= Va'V Sa'] d'où

donc l'excès cherché, ou

V5— y a —j-^^^y sans erreur sensible.

144. Voici maintenant comment on réduit une base au niveau de la mer.

Soient p [fig. 3i) le rayon de la Terre réputée sphérique , pour le niveau de la mer ; p + ^ le rayon pour le sol de la base AMB , supposé de niveau; h sera l'élévation ka du sol au-dessus de la surface des

eaux. Soient de plus B la base mesurée AMB, et 6 la base réduite amb. Cela posé , puisque les arcs semblables sont entre eux comme leurs rayons , l'on aura

a34 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

prenant la valeur de b^ et ajoutant de part et d'autre — B, il viendra