PREMIER EXEMPLE

146. Je choisirai pour premier exemple la base dite de la Goi^ dalch^ mesurée en Bavière par les ingénieurs-géographes français, parce qu'elle est susceptible d'un grand nombre de réductions.

Pour mesurer cette base , l'on fit usage de 5 règles de bois de sapin ^ qui avaient chacune 5 mètres , et qui étaient construites comme nous l'avons dit précédemment. Ces règles j mises bout à bout et en ligne droite y composaient une longueur appelée portée. Chaque portée , placée sur des poutrelles soutenues par des chevalets ^ fut mise de niveau, afin d'éviter la réduction à l'horizon, et de pouvoir mettre plus intimement les règles en contact. On observa la température de chacune de ces règles avant de les changer de place, et l'on considéra la moyenne des cinq températures, comme la température de la portée que représentait ce système de règles. Enfin , après avoir procédé de la sorte, en allant d'une extrémité de la base à l'autre, on trouva gggpoitées^ ju^ jg^j^g l3 longueur de cette base.

Il restait à étalonner la portée , et à connaître exactement sa dilatation , pour appliquer à la base mesurée la correction de température et l'évaltier en mètres. Or, afin d'atteindre ce but, l'on jugea à propos d'établir sur le terrain un étalon invariable : c'étaient deux pieux implantés en terre, et distants l'un de Tautre d'un peu plus de a5 mètres. Il fallait alors connaître rigoureusement la longueur de cet étalon , c'esl-à-dire la distance fixe des centres des pieux ^ et ensuite comparer

24o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

cette longueur à celle de la portée. On employa à cet efifet un mètre provisoire en cuivre qui représentait exactement , à la température de 1 o grades , 3 pieds 1 1 lignes -^ de la toise du Pérou prise à la température de i3^ de Réaumur, ou de i6^^!i5. Mais pour mesurer l'excès de l'étalon sur la portée, l'on se servit |d'un autre mètre de cuivre, divisé en millimètres, et auquel on avait adapté un vemier (art. 113). Ce mètre auxiliaire fut trouvé un peu plus court que le mètre provisoire , dans le rapport de 3o ooo à 3o oi4*

Voici maintenant les principaux résultats des expériences dont il s'agit.

Expériences relatives à la longueur E de rétalon.

Alatempér. de 9*,375=f, onatrouvéE=a5"*'P-+-o,o8775=a5-t-6 ,

Remarquez que les unités représentent des mètres provisoires , aux températures ^, ifj t\ et les fractions £, s^, f^ des parties du mètre auxiliaire: ces parties doivent donc être multipliées par le rapport Yoq\\ y puisqu'elles sont trop grandes.

Expériences relatis^es à l'excès rs dk Pétalon sur la portée.

A la température de 9^^376 = ^ , on a trouvé or = 0,09^32 ,

a6 ,a5o = f ty" = o,o9o3a.

Ces valeurs sont de même des fractions du mètre auxiliaire ; il est donc nécessaire de les multiplier aussi par le rapport |§ffj, pour les évaluer en parties du mètre provisoire.

Soient E^^o)!^ longueur de l'étalon invariable, exprimée en mètres provisoires à 10 grades de température; d la dilatation relative du cuivre, pour chaque degré du thermomètre centigrade; et, comme ci-dessus, t la température observée, £ l'excès de l'étalon sur a5 fois la longueur du mètre , qnfin A: le rapport \ll\\ : il est évident qu'on aura^

en vertu des trois premières expériences ,'

E^<o) = [a5-+- cA] [i+d{t —10)], E(*o) = [a5 + sfk] [i +d{t' ^ 10)] , E(,o) = [a5-t. y'Â:] [i J^d[t" - 10)];

ou bien faisant, pour abréger,

a5 + sA: = A, ^ — 10 = B, \s + ^k^M, t'— io = B', 25 + ^'k = A", r- 10 = B%

on aura plus simplement

E(,o) = A (i + rfB), I^,o) = A'(n.rfB'),

Ces trois équations ne renfermant que deux inconnues, savoir, E^^o) et d : l'une d'elles serait satisfaite par les valeurs de E^,©) et d déduites des deux autres , si les observations étaient exemptes d'erreurs ; mais comme il n'en est jamais ainsi, on pourra, par exemple, combiner ces équations deux à deux, et prendre une moyenne arithmétique entre les différentes valeurs d'une même quantité ; de cette manière on trouvera

Eç,o) = ^5'»p,o874i;

c'est la longueur de l'étalon en mètres provisoires , à la température de 10 grades. On aura en outre, par un milieu,

c'est la dilatation relative de la règle de cuivre, employée dans la mesure de l'étalon.

Maintenant désignons par IIq la longueur de la portée au terme de la glace fondante, mais évaluée en mètres provisoires à 10 grades de température ; par A sa dilatation absolue pour chaque degré du ther- I. 3i

24î» TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

momètre centigrade , c'est-à-dire sa dilatation évaluée en fraction de mètre provisoire; on aura, d'après les deux dernières expériences rapportées plus haut, et en désignant toujours par E^^o) 1^ longueur de l'étalon,

Eçio) = no-+- A^ +TsrÀ[i +rf(<— io)] = IIo + A« +7ffk{i + dB)j

De ces deux équations du premier degré , Ton tirera aisément les valeurs des inconnues ITo et A : faisant le calcul , on aura

1X0 = 24™P,994o4> A = o"P,oooii657.

Or, par le tableau des températures des portées, inséré dans le Registre des observations, l'on voit que toutes ces températures sont positives, c'est-à-dire au-dessus de zéro; ainsi la correction totale à laquelle elles donnent lieu est additive et de i^'^^g']'] 34- Cette correction, comme on le conçoit bien, est l'expression de la somme des corrections partielles. Si, par exemple, n portées eussent été observées à la même température T, la correction qui leur est relative serait évidemment nTA. Mais le nombre de portées contenues dans la base était de 866, i486, par conséquent on a

Longueur de la portée H^ = a4™''*>994o4

multipliée par 866 , i486

produit a 1648 ,55^75

Correction de température +' i »97734

Longueur de la base en mètres provisoires, B' = at65o' ,53oo9«

Postérieurement à la mesure de cette base , le mètre , déduit des opérations géodésiques de Delambre et Méchain , fut définitivement fixé à 3 pieds 1 1 lignes -j^^ de la toise du Pérou ; le rapport entre le mètre légal et le mètre provisoire étant donc > /ô^H" >

il est clair qu'il faut multiplier par ^^ le 'a valeur précédente de B'

trouvée trop courte; partant l'on a

base exprimée en mètres définitifs ou B = B' x ^/o Z^ ~ '^ i657™,563o.

La di£Fér^ice de niveau des extrémités de la base étant très-petite, on peut considérer la longueur B comme celle d'un arc de grand cercle terrestre compris entre les verticales de ces mêmes extrémités , et représentant le sol mojren de la base- Or, il résulte d'un grand nombre d'observations barométriques, que ce sol est élevé de 486"" au-dessus du niveau de la mer \ la réduction de la base à ce niveau , évaluée au moyen de la formule de Tart. 144, sera donc — 1*^,6532; de là

base réduite au niveau de la mer = aiGSS'^ygogd;

c'est cette longueur qu'on emploie immédiatement dans le calcul des triangles, quand on les considère comme sphériques.

On devait mesurer une base de vérification avec des règles de fer que le Dépôt de la guerre français avait fait construire , et dont l'appareil était assez commode , comme j'eus occasion de m'en convaincre en mesurant, en i8ii, avec ces règles, une petite base dans la plaine du Vésinet , près de Saint-Germain-en-Laye , dans la vue de déterminer la hauteur de l'aqueduc de Marly au-dessus de la Seine. Mais malgré la précision qu'on obtient par im pareil procédé, elle n'équivaut pas à celle qui résulte de l'emploi des règles de platine dont il a été parlé à l'art. 145. Pour ne laisser rien à désirer à ce sujet, voici un exposé succinct de la mesure de la base de Melun et des diverses réductions qui y sont relatives.