BIC&S

sphérique.

AMCLBS

sphériques.

40036' 56*84 75.39.^9,83 63.43. 33,Sa

BHMBSil^ ANCLBS

des cordes.

ANCLBS

moyens.

La colonne intitulée angles observés contient les angles de position réduits à l'horizon et au centre.

La colonne suivante , qui a pour titre : excès sphérique^ donne pour chaque angle horizontal , Texcès de cet angle sur l'angle des cordes correspondant; il se calcule par la méthode de l'art. 130 , ou plus directement encore au moyen d'une Table que Delambre a donnée, et qui a pour arguments la somme K + K' et la différence K — K' des côtés qui comprennent l'angle à réduire. Les trois excès partiels forment l'excès sphérique du triangle, tel qu'il se trouverait directement par la formule de l'art. 151.

La cinquième colonne s'explique d'elle-même.

La sixième colonne comprend les angles des cordes , qui s'obtiennent en ôtant des angles sphénques les excès sphériques correspondants.

Enfin , la dernière colonne donne les angles moyens qui servent pour résoudre les triangles sphériques par le procédé de l'art. 150.

A l'aide de ce tableau j et de la base de Melun à Lieursaint, réduite à sa corde 9 on aura les éléments nécessaires pour déterminer tous les côtés du réseau , soit par le procédé actuel , . soit par les deux . précédents.

La méthode de réduction au plan des cordes a été suivie pendant quelque temps au Dépôt de la Guerre; mais depuis 1817, époque à laquelle ont commencé les opérations de la nouvelle Carte de France, tous les registres géodésiques ont été rédigés , d'après ma proposition, conformément au principe de l'art. 100, qu'on appliquait comme par instinct, même bien avant que Legendre en eût prouvé la légitimité.

Comme je suis entré dans assez de détails sur cette matière , je me bornerai à faire observer que la longueur d'un des côtés les plus éloignés de la base mesurée, doit être le milieu entre tous les résultats qui dériveraient du calcul de différentes chaînes de triangles, auxquelles ce côté serait commun.

156. Déterminer la position dun lieu doit Von aperçoit trois points donnés sur la carte.

i" Solution. Si du point D [fig. 34), élevé au-dessus du plan ABC supposé horizontal , on a observé les angles ADB , ADC , ainsi que les distances zénithales des points A , B , C dont on connaît les distances respectives, on réduira à l'horizon les deux premiers angles.

afin que le point D puisse être considéré comme le pied de la verticale abaissée du lieu de l'observation sur le plan ABC; et pour lors, avec deux des distances horizontales AD, BD, CD déterminées par le calcul, on fixera la projection de ce lieu ; c'est ce que l'on va voir.

Nommons j3,y les réductions à l'horizon des angles observés ADC, ADB. Soient en outre DA = D , DB = D', DC = IT, angles ABD = x , ACD =^; adoptons, pour le triangle ABC , la notation de l'art. 47, et enfin faisons abstraction de la courbure de la Terre.

Cela posé , dans le quadrilatère ABDC , supposé plan , les quatre angles vaudront ensemble deux angles droits , et les triangles ADC , ADB donneront respectivement

d'où

TV b sinr -rv c ûnx

b siny sin^

et par suite

c sinô

sin « -H sini>^ b sin7 4- c sin p , . tang 7 {x -{-y) ^ siny

sin j? — smy d siny — c sin p ' tang 7 (x — y) c sm p

Or, si l'on fait

l'expression précédente deviendra

tangua:— r) i — tangz » \^ 2/'

et si , pour abréger, l'on pose

on aura

tangcf = 'ÎHii^ = cot (z + 1') tangS.

:i70 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

& étant connu , il s'ensuit que

a: = S-Hc?, jr = S^&i , (3)

^ changerait dç signe si sa tangente était négative.

Quant aux valeurs de D, D', D'', il est évident qu'elles seront données par les équations

1^ b sinjr c sIdx

smp siny '

^, __ c sin {x + y) gsin(7~C) , , .

^ "" sinv ~ sin(p + 7) ' / ^^^

yx„ b sin(x •+- P) __ fl sinfa — B)

sinp sin(pH-7)

Cette solution , que l'on doit à Delambre y n'exige la construction d'aucune figure ; elle nous parait la plus simple et la plus commode de toutes celles que l'on pourrait donner du même problème. Cependant si l'on voulait une formule qui donnât immédiatement l'une des inconnues^ jp par exemple , on trouverait sans peine , en faisant ^=/?—jï' dans la relation (m), et développant,

(csin ô \

T— : \r 1 ); bsmy cosp / '

ou faisant en outre tane cp = i f -" ~~ , on aurait

" ^ Dsiny cos/?

COt X = COt p ^ 7—^ ,

* COS (f COSj^

expression dans laquelle /> = 4^ — A — /3 — y, et cos i^ = Vï-

Quoiqu'il soit aisé de se rendre compte des changements que les formules ci-dessus éprouvent suivant la position du point D à l'égard du triangle ABC, nous ferons les remarques suivantes : i^ si le point A était dans l'intérieur du triangle BCD , on aurait

s = 2« - i(4« - A" + /3 + 7) =^^—±Zl,

c'est-à-dire qu'il faudrait prendre le supplément à quatre angles droits de Tangle A du triangle ABC ;

a®. Dans la même circonstance, il faudrait mettre jc -+- B et^ -t- C dans les valeurs de D" et de D', parce que les angles B, C seraient extérieurs au quadrilatère DBAC ; au lieu de lui être intérieurs comme dans le premier cas ;

3^. Lorsque le point D sera dans l'intérieur du triangle ABC, la somme des angles observés |3 -H 7 surpassera nécessairement deux angles droits;

4®. Si le point D était placé sur la ligne BC = a , la somme B -t- 7 vaudrait précisément deux angles droits , et Ton aurait

sin /3 = sin 7, tang ^ = 1 ;

è serait la dififérence des angles connus B , C , et alors

Dans le même cas, on aurait

D, g sin o -^„ a sin o^

sin o ^ sin o

expressions qui laissent D' et D" indéterminées; mais ces distances pourront être calculées par les formules

p, csin(B + 7) jy" — ^sin(C + P). sin 7 ' sin 7 '

5®. Enfin, si a: -t- ^ = a«, on a sin x = sin^, et pour lors

i># -. 6 sin 7^ sinx / 1 • » 6 sin 7 ^

1 équation ^ = 5^7 se réduit a -5^ = i. Quant à l'équation

—^ = ^^ — 2 (A^ + /3 + 7) , elle donne, dans la même circonstance ,

i ( A -t- ^ + 7) = iQ, d'où ^ + 7 = a« — A : propriété qui appartient au quadrilatère inscrit. Ainsi, les quatre points D, A, C, B étant sur une même circonférence , le problème est indéterminé.

îi7a TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

Ce problème est uon-seulemént utile pour trouver les positions des points secondaires d'une carte , et savoir d'avance si l'emplacement d'un signal que l'on se propose d'établir donnera des triangles assez bien conditionnés , mais encore pour déterminer les distances qui servent d'éléments aux réductions des angles que l'on aura observés près de ce signal : passons maintenant à son application.

TYPE DU CALG17I..

Supposons que les angles observés en D et réduits à l'horizon soient

^ = 37«,63io, y = 6o,a535,

/3 + 7 = 97.8845; et que dans le triangle ABC

log 6 = 4 902118939 log c = 4 ^170^617,

on aura

A = 86^,3406 loge = 4»i7026'7

6 + 7 = 97,8845 log8inp= 9,7460735

A -h p 4- 7 = 184 ,aiSi ''^"'P- ^®8 ^ = 5,9788107

i(A H- p + 7) = 92 ,, ia55 ''"''"P- ^^8 «n 7 = o>o9079"

^ 99 ^65769 log cot . de 98 ,9694 = 8,2092227

jr 116,11711 logtangS = 0,9047133 -

P 37,63ioo log rang (î = — 8^,22976 = 9,1139360---

r-Hp« . . . 153,74821

X + 7. . . . iSg >9iii9 On a affecté du signe - la tangente de <?, parce qu'elle résulte du

produit de deux facteurs affectés de signes différents; en effet, la tangente d'un angle aigu est positive, et la tangente d'un angle obtus est négative.

Ensuite ,

\ogb = ^y02ii8gi ' loge = 4,1702617

log ÛTiy = 9,9859308 log sin j: = 9,999998 7

c. logsin p = 0,2539265 c. log sin 7 = 0,090791 1

logD = 4'^^'o4^ = «8240,29 logD = 4>^6'o465 = 18240,92

log c = 4>'7026i7 log 6 = 4^021 1893

Iogsin(x + 7)=9,770o5i4 logsin (j-|-p) = 9,8228470'

c. log siny = 0,090791 1 c. logsin ^ =: 0,2589265

logD'rr 4,0811042 = 1074^,47 log D'^ = 4,0974628 = I25l5,92

Il conviendra de calculer D' et D" par les autres formules (4) , ce qui servira de vérification ; et si Ton désire avoir ces distances avec plus d'exactitude, il faudra employer les logarithmes avec 8 décimales.

On détermine encore la position du point D par une construction qui dispense de tout calcul , puisqu'il ne s'agit que de décrire sur AB et AC des arcs respectivement capables des angles observés y et |3 : sur quoi , voyez la Trigonométrie de Legendre , ou celle de M. Lacroix ; mais cette opération graphique n'est en usage que dans les opérations topographiques de détail.

1^ Solution. Si les points A^B^C étaient les sommets d'un triangle doiH: l'excès sphérique fut sensible ; en d'autres termes si les quatre points AyBy C,D étaient considérés comme ceux d'un réseau trigonométrique du premier ordre , la position du point D à l'égard des trois autres se déterminerait sur la sphère d'une manière toute semblable , et c'est ce que n'a point fait remarquer Delambre. D'abord on ferait abstraction de l'excès sphérique du quadrilatère ACDB , et l'on procéderait comme ci-dessus pour connaître approximativement les angles x^y^X. pouvoir calculer les excès sphériques i , é des triangles ADC , ADB , dans chacun desquels on connaîtrait deux angles et un côté : ensuite on traiterait ces mêmes triangles comme sphériques, et l'on aurait entre les quatre angles du quadrilatère ABDC cette relation

d'où

De plus , les triangles sphériques ABD , ADC donnant

sin AD =

sin csmx

siny

. T^ sin 6 sin r in AD = r-r-^,

sinp

sin

on aurait

sinx sin à siny

sin j sine sin 6*

de sorte qu'en faisant tang z = "'^ ^ ^^° ^ , il en rësul tei'ait, comme dans le cas du quadrilatère plan ,

sin ^siny

tang-^(ar —j) = tang-|-(a:-Hj^)cot (z 4- So'').

Cette solution suppose que les angles observés sont réduits à l'horizon et tout à fait exempts d'erreur.

Appliquons cette seconde solution aux donnéessuivantes, puisées dans le premier volume delà Nouvelle description géométrique de la France^ p. 3o6; mais en corrigeant une faute d'impression qui s'y est glissée.