CHAPITRE XII

FORMULES PAR LESQUELLES ON EXPRIME EN FONCTION DE LA LATITUDI- DIFFÉRENTES LIGNES DE l'eLLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION, ET APPLICA- TIONS DE CES FORMULES AU SPHÉROÏDE TERRESTRE.

167. Suivant Newton, la Terre considérée comme une masse fluide homogène , dont les molécules sont soumises à leur attraction mutuelle, aurait la forme sphérique, abstraction faite de son mouvement de rotation sur elle-même ; mais la force centrifuge due à ce mouvement l'a renflée à l'équateur et aplatie aux pôles, en lui donnant la figure d'im ellipsoïde de révolution dont les axes sont dans le rapport de a3o à 2219; figure qui se sera conservée à très-peu près durant la solification , si aucune cause n'est venue troubler l'équilibre de la masse. Que la Terre ait été originairement sous Tinfluence d'une très-haute température , dans un état de fluidité parfaite , c'est ce que semble prouver l'étude physique et géologique de son écorce ; mais il est impossible d'admettre l'hypothèse de l'homogénéité (*). Aussi Clairaut, à qui la science est redevable d'une belle théorie mathématique de la figure de la Terre, a-t-il montré, par la comparaison des longueurs du pendule à secondes,

(*) Une excellente notice scientifique de M. Arago sur ce sujet, insérée dans V annuaire du Bureau des Longitudes pour i83{ , donne un gi^and poids à Fhypothèse d*une excessive chaleur d*origine , qui paraît exister encore sous les premières couches solides qui recouvrent notre globe ; puisqn^in accroissement régulier de température s*observe partout, à mesure qu'on pénètre à de grandes profondeurs , et qu^il sufiit d'un enfoncement de 20 à 3o mètres pour que cet accroissement soit de i degré centigrade.

mesurées à différentes latitudes , que Taplatissement qui en résulte appartient à un sphéroïde hétérogène , et est par conséquent moindre que dans l'hypothèse établie par Newton, c'est-à-dire plus petit que j^ô- L'illustre auteur de la Mécanique céleste a ensuite embrassé cette théorie délicate dans sa plus grande généralité, en l'étendant aux planètes supposées recouvertes, comme la Terre, d'un fluide en équilibre.

En admettant donc que notre globe ait la forme elliptique, la pesanteur, qui agit suivant la verticale du lieu où on la considère, augmente nécessairement d'intensité en allant de l'équateur au pôle, et le calcul fait connaître que son accroissement est proportionnel au carré du sinus de la latitude du lieu dont il s'agit. De plus, la force centrifuge qui s'exerce toujours perpendiculairement à l'axe de rota- . /

tion est également variable , et sa diminution/est aussi proportionelle jvf^^w!^ au carré du sinus de la latitude. Enfin, par la réunion de ces deux causes , la pesanteur observée en un point de la surface de la Terre est l'excès de l'attraction totale sur la force centrifuge décomposée suivant le rayon terrestre; et cette force est, à l'équateur, à très-peu près —^ de la gravité , tandis qu'aux pôles elle est nulle.

Avant de nous assurer, par des mesures géodésiques et astronomiques, si la Terre est réellement un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles, nous la supposerons telle. En conséquence, soient CE (^g. 89) le rayon de l'équateur, et P le pôle. Si par le point A on mène la tangente AT à l'arc elliptique PAE, la droite AM, perpendiculaire sur AT, sera la normale en ce point, et l'angle ALT = FAT sera la latitude H du point A.

Soient de plus le rayon de l'équateur CE = a, celui du pôle CP = b; l'équation du méridien sera

ay + b*x^ = a''b'', (i)

jCy y étant les coordonnées CF, FA d'un point A quelconque. Or, il

résulte des principes du Calcul différentiel , que le rapport -j- exprime

en général la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente à une courbe fait avec l'axe des ^ ; on a donc

^ = cotH.

D'aUleurs, en différenciant l'équation (i), il vient ^ = - ^; ainsi

- ^ = cotH. (a)

Combinant entre elles les équations (i) et (a) , on obtient aisément

ou éliminant les cotangentes et extrayant la racine carrée , on trouve

a'cosH i'ànH

VA'sin'H+a'cos'H' "^ Jb'sm'R-ha*coi*B

Mais si l'on désigne par e le rapport de l'excentricité de l'ellipse du méridien au demi grand axe , on aura e» = ?l:zi.' . et si en outre l'on

change les cosinus en sinus , dans les dénominateurs des valeurs précédentes, il viendra

^ g'cosH __ acosH

v'«.(a.i.)sin«H ~ (, -e'sin'H)^' .

y. &'sipH a(i— g')ginH f^'

Va«~(«>--6.)sm«H (, ^ ,;„. gj^'

Maintenant désignons par N la grande normale AM; par N' la petite normale AL; par t la tangente AT; par t' la tangente AT'; il est évident qu'on aura, à la seule inspection des triangles rectangles que présente la figure, ^

x = NcosH, ^ = T cosH,

a'=T'sinH, j'tsN'sinH;

partant, et à cause des valeurs de xet^ trouvées ci-dessus,

N=-^= , T = r 3écH-"^'~'^^*^° \

(i— e»sin'H)» {i-<»8m'H)» ( .

^'=ri^= «(.-<^') ^==^cosécH=— ff5i5.(^^^ ^- 38

igS TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

on a encore

sous-normale LF = N'cosH = ^-^- — — -y^^

(i— e»siii»H)»

^-, . „ a(i — tf*)taDgHsinH

sous-tangente FT = t sm H = — ^^ ^-— ^ — \ — ,

(i — ff'sin»H)»

CL = a:-LF = -^^1^^5,

(i— <?»siii*H)~

CM = CLtangH= ^^'^"^^

(i— <?»sin»H)»

Enfin, soit r le rayon AC de la Terre ; on aura , par ce qui précède ,

r = Vx*+j' = ^y^i-ea(a-e^)sin»H. (5)

Cette dernière valeur est susceptible de prendre une forme plus simple^ 4 et voici comment.

168. Si l'on imagine une sphère ^a£ circonscrite à Tellipsoïde PAË, laquelle ait pour rayon celui de l'équateur; qu'on prolonge l'ordonnée FA jusques en a , et que par ce point l'on mène la tangente aT : celle-ci et la tangente AT se rencontreront nécessairement au même point T sur l'axe CX; car^ remarquons d'abord que l'ellipse donne

et le cercle circonscrit

j' étant l'ordonnée aF; de là

jr^ := ^^ (<t*— x^) , et y^= a^ —x^\ et par suite

Mais sou&-tangente dans l'ellipse =^ — = FT,

sous-tangente dans le cercle =^— = FT' ;

de plus, à cause de — = ?» on a dy'=^ -7^; par conséquent

FT' = y'!^ = r ^ = FT.

•' df -^ djr

Soit maintenant X l'angle aCF, et h l'angle ACF ou la latitude géocentrique du point A ; on aura

tang X = — et tang A = ^;

divisant ces deux relations l'une par l'autre , on obtiendra définitivement

tang A = -tangX.

D'un autre côté, les triangles rectangles AFT, aFT donnant

YY=y tang H = j' tang X,

on a tang X = - tang H. (6)

Dans cette relation , l'angle X se nomme la latitude réduite, et l'angle H la latitude vraie y d'après Dionis du Séjour et Tjegendre; parce que la première est plus petite que la seconde. On a en outre, et par suite,

tang A = -i tang H ; (7) mais à cause de la relation (6),

— tang* H

sin^ X = tang* X cos* X = — rr = r^ :

^ i-4-tang»X A» ,„'

puis mettant pour tang H sa valeur — =, et faisant attention que — = I — e*. on a définitivement

Or '

sm* X = ' /. ,„ ;

1 — «•sm'H ^

3oo TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

partant y la valeur ci-dessus de r, désignée par (5) ^ devient plus simplement

r = a(i — e^sin^Xy, (5')

comme nous l'avions annoncé.

a co8t7

C08 tJ

L'angle GAM de la verticale avec le rayon CA étant représenté par ô, il est évident que Ton a

Mais

tange= ^S^-^Sà ^

^ I + tanc H tane h

tangH— - tangH jtangH