I -h -tangH i-h--tang»H

si donc l'on change les tangentes en sinus, et que l'on ait égard à ce

que sin * H = , et sin aH = asin H cos H, on aura

t^^C g ^ (ii'-^')taDg H ^ , (fl»-^')sin2H ^ o fl* + ô» taDg*H 2 a» — (a* — A»)sin»H

fl» — ^' . „ r-sinaH

a» — ô* „ I H 7- cos aH

169. Pour achever de compléter ce système de formules, cherchons maintenant l'expression du rayon de courbure du méridien au point A dont les coordonnées sont x , 'jr. Soit p ce rayon ; on aura , par la théorie connue des oseulations , et en supposant dx constante ,

^ dxd}y

H- cot» H)^ — cosécMa

d*x dx*

dx*

Mais puisque — ■=. cot H, on a, en différenciant,

^ = -.^ = ^i°coséc»H

djF* dx sin* H dx '

et par conséquent

û = 3=r coséc H.

' ail

Reste à trouver l'expression du rapport différentiel ^ ; or cela est facile , car, à cause de j: = ^ , on a , en différenciant ,

(i-r<?*sin»H)''

1 g^«cosH I a cos Hrf. (i — e»sin*H) — a{\ — g*)sinHrfH

ax — j- — 3 — ^ .

( I — tf*sin*Hf (i — c>sin»H)^ (i — <?^8in*H)"

Mais dans cette différenciation , or et H sont supposées croître en même temps , au lieu que x croît quand la latitude H augmente ; il faut donc changer le signe du second membre, pour avoir égard à cette circonstance : ainsi, l'expression cherchée du rayon de courbure du méridien sera définitivement

(i — c» sin» H)*

C'est ce que l'on obtiendrait encore en se rappelant que, dans toutes les courbes du second ordre , le rayon de courbure est égal au cube de la normale N', divisé par le quart du carré du paramètre : or, relativement à l'ellipse, le paramètre = — .

Cherchons en second lieu l'expression différentielle d'un arc s du méridien, en fonction de la même latitude H, et supposons l'origine de cet arc à l'équateur, c'est-à-dire en E : dans ce cas s croîtra lorsque x diminuera , et l'on aura évidemment

ds = — [dx^ -|- dy^y z=z ---dxfi + -^j =-~dx coséc H.

Substituant ici pour dx sa valeur précédente, il viendra sur-le-champ

ds = — ^ — j. (10)

(i— Ér*sin»Hf

3o2 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

En rapprochant cette valeur de celle (9), on remarque cette relation connue d'ailleurs,

ds

c'est en effet celle que donne le secteur infinitésimal formé par deux normales consécutives à l'ellipse, et l'élément rf^ de cette courbe correspondant à l'angle dH infiniment petit.

170. On entend par aplatissement ou ellipticîté de la Terre supposée un ellipsoïde de révolution, la différence a des demi-axes a, ft, celui de l'équateur étant pris pour unité ; c'est-à-dire que Ton fait

or, l'aplatissement a et l'excentricité e sont liés l'un à l'autre par une relation facile à trouver. En eflfet, on a d'abord visiblement — =( i — a)* ;

et de ce que e* = j — , on tire en outre -; = i — e* ; égalant ces

deux valeurs, on obtient la relation dont il s'agit, c'est-à-dire

aa — a* = e^.

On verra bientôt que a est une quantité très-petite , que Ton considère comme du premier ordre ; ainsi le double de l'aplatissement est à peu près égal au carré de l'excentricité. Cependant , il est des géomètres qui prennent pour aplatissement de la Terre , l'excès du grand axe sur le petit axe pris pour unité. Soit af cet excès; dans ce cas

et comme il est d'usage de faire a = — , soit aussi a' =— . Alors, à cause de

- = !«=, __, - = xH-«'=,H-^,

d'où m = m' + i.

Au surplus, cette conséquence est évidente par elle-même, car on prend ordinairement pour représenter le rapport des demi-axes de la Terre, deux nombres qui ne difierent que de l'unité.

Nous pourrions substituer l'aplatissement à l'excentricité dans toutes les formules précédentes , mais elles seraient évidemment moins simples, si Ton ne voulait pas y négliger les termes en a^, c'est-à-dire les termes du second ordre.

Comme elles sont d'un fréquent usage en Géodésie , rassemblons ici les principales , et désignons par | le rayon du parallèle dont la latitude est H ^ auquel cas ^ = jr ; on aura

Normale terminée au petit axe, Normale terminée au grand axe, Tangente terminée au grand axe,

Tangente terminée au petit axe.

Rayon du parallèle, Ç = I III-1I — j- ^

(i— <?»8in*Hf

Rayon de courbure du méridien, p = ^ — '^ — <—^ j

(i--^5in»H)^

j , r,. ^fï— e»(3— e»)sin'H")'

Rayon de la Terre, r=^a\ ^ r-^= |>

■^ L I — <?» sm* H J

our = «(f — e^sin^X)':

H et X étant liés par l'équation tangX = - tangH, démontrée à l'art. 168.

Enfin y ds étant la différentielle d'un arc s de méridien commençant à l'équateur et se terminant à la latitude H, on a

Différentielle d'un arc du méridien, (h = ~ 5.

(1— e*sin*H)^

Toutes ces formules peuvent être mises sous une autre forme qui les rende susceptibles d'être développées aisément en séries: en effet, à

(i— c»sin«H)'

(i— ^sin»H)'*

a{i — tf*)tangH

— JL7

a coi H

(i— éf>sin*H)'

a cos H

3o4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

cause de

I — e*sm*H e* e* „

I 1 cos aH

si Ton fait, pour abréger, n = ^ ^, il s'ensuivra que e^ = — —,

I = , et que par conséquent

I — tf* sin*H I+/ÎC082H' par suite

^ "" , x,^T' "" 7"Vi-4-«cos2H; *

fl \H-/icos2H/ ' \ I-4-/ÎCOS2H/ ' ? = a COS H ( — ; = 1 , û = — I ; = 1 .

Quant au rayon de la Terre , sa première expression précédente prend une forme semblable à celle de la normale N ci-dessus, en y foisant

n' = --1-i-Zlf-Z-. comme on a Éaiit n = — — dans l'expression de

N ; ce qui établit alors cette relation :

En effet l'on a en définitive

^ -^ L(i-i-/»cos2H)(i-h/«')J ' ^^ ^

et par suite

a \ 1 +/IC0S2H/