DÉVELOPPEMENTS ETX SÉRIES PES FORMULES PRÉCÉDENTES

SÉBnS FONDAMENTALES.

171. Lorsqu'on élève au carré chacune des expressions finies des lignes de Tellipsoîde de révolution y le dénominateur se compose d'une quantité de cette forme : i + tï cos z ; ainsi Ton peut se proposer de

développer en général la fonction , ordonnée, suivant les cosinus des multiples de Tangle z. Euler^ dans sdh Calcul intégral^ a résolu complètement ce problème ; mais la théorie des exponentielles imaginaires conduit au but d'une manière beaucoup plus simple que celle employée par ce grand géomètre. £n efifet ^ feignons que Ton ait

I + /1C0SZ

pc*V^ a-^pc-'^'

A 9 B , a , /3 étant des coefficients indéterminés ^ et c la base des logarithmes hyperboliques : or, à cause de cos z = , on a

2 A-4-Bc^V^ A-hBc-'V^^

et si Ton réduit au même dénominateur les deux termes du second

membre de cette équation , ensuite qu'on égale entre eux les termes

3o6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

homogènes , on aura ces relations

Aa + B/3 = I, a* + /3* = a, A/3 + Ba = o, oL^ = Hy

desquelles on obtient

B(/3^-a^) = /3, /3» =1 -Vi-'»% a» -/3' = 2>/r— n^; ainsi

I + /2COSZ a» — 6*\ Ô ^v/^ . P — «^^

Si 9 pour abréger y l'on £sdt ^ = m, ensuite que l'on réduise en série chacune des fractions -;= j 77^= > ®* que l'on ait égard

à ce qu'en général cos yuz = , on trouvera définitivement

(f^ = . (i — 2m cosz + aj9i* cos 22 — 2m^cos3z -h 2/w<cos4»•••)• ^ ^ H-ncos« ^,^»\*

La même méthode s'emploie avec un égal succès pour réduire en série de cette forme la fonction log (i + 's cos z). Pour le prouver ,

soit encore mis ici ^ — - , au lieu de cos z\ on aura

log (i +« cosz) = log (a -h nc^"^ + nc""^') — log a ; et parce que l'on peut supposer que

a et j3 étant indéterminés , on aura, en développant et égalant la quantité rationnelle à la quantité rationnelle , et la partie imaginaire à la partie imaginaire ,

a* + jS* = a, a]3 = n; ainsi

aa = v/a (Vi + n + y^i - 71) , ^ = - — ^' =

ap = Vâ (Vi+ n — Vi — n) , n = 7^:^; et comme en général log [i + u) = u h -0- — ..., on trouvera,

= —log h ayte[;iicosz — |w*cosaz + j/n'cosîz — ....],

a " 3 après les réductions convenables ,

(B) log(H-ncosz)=log— + logru-Tnc*^ +log(i+mc"'^^)

/x = 0,434^9448 étant ici le module des tables; ce qui est conforme au résultat auquel Euler est parvenu.