Développons^ par le même procédé, la fonction -. r

On a d'abord

■ = (i — a/7ico$z + 2/7i*cosa8 — a/n^cos3z + a/n^oos42 — etc.);

et si l'on multiplie, ensuite qu'on divise la valeur précédente de w,

par I + V'i — n^, on aura

D'ailleurs

I I / 1 — aiwcoss -{- a/w'cosaz — aiw^ cos 3s -h etc.\ ^

3o8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

et si l'on suppose que

! = î [ï -j- E/,) cosz -h Ef ,) cos az + E^) cos 3z + etc. ] ,

on aura alors

I /i — 2mcoss-Ha/n*cos2g — ai«^ cos3s. . . \

(,«„.)! \ i-+-«co$z ;

= — î — j [H-E(i) <îos« + E(a) cos az + E<3) cos3z. . . ];

puis, après avoir chassé le dénominateur i + ncosZj

j (i — am cosz + a/n" cos az — a/ii* cos3z. . .)

I r 1 + Ef,) cosz + E(,) cos az + E^j cos3z 1

"" (,— «•)! I +^cosz+/iE(.)CO$zcos z+/iE(,)Coszcosaz. . J

Mais en général I cos (i^+ i) z-|-|cos(i^ — i)z = cosi^zcosz; ainsi on a Féquation identique

(i — n^) [i — am cosz -h a/n* cos az — am* cos 3z + etc. ] = I + E(,) cosz + E(,) cos az -h E(3) cos 3z H- etc. + Ticosz Hr I nE(,) cos az -h I wE(,) cos 3z -h etc.

+ - E(.) + i /iE(,^ cos z -h i 7iE(3) cos az -h -^ nE^^^ cos 3z -h etc. Égalant les termes semblables , il vient

— am (i— w*) = E(,)+ 7H-|/îE(,),

-h am» (i - /i») = E(,) +inE(o +i7iE(3) ,

- am* (i - n^) = E(3) +iwE^.) +i'»E^4) 5

d'où l'on tire, en mettant pour m sa valeur "

E(.) = —an,

j. (a«'— I -4- v^i— «') in*{i + 3 ^1— «')

■c (3«^ — in + 7.n V^i— «*) — an' (n- 3 v'î— »*)

-, (4it«— 3i»»H-3«Vi— II») a/i<(i + 4 Vi— «*)

OU enfin y pour abréger,

E(,) = — an,

E(3) = — am' (i + 3^1 — n^) , E(4)= am*(n.4Vi — n»),

E(,.) = ±. %rnt (i -H i \/i — n').

Telles sont les valeurs que Laplace a obtenues par un procédé différent {Mécanique céleste ^ tome I, page i56).

173. La fonction (i + racosz)*' peut aussi se développer en série delà forme A + B cos z + G cos az + D cos 3z+. . . ; mais comme nous n'aurons besoin par la suite que du développement particulier de

1, nous effectuerons ce dernier par la njéthode naturelle,

(i 4-«cosz)'

laquelle consiste à développer d'abord (i + ncOsz) ' par la formule du binôme, et ensuite à changer dans le résultat les puissances du cosinus de l'arc z en cosinus de ses multiples. Cependant, afin de pou*

3io TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

voir découvrir aisément la loi des coefficients numériques du développement, nous aurons soin de n'effectuer aucune réduction dans la formule générale ,

1^ " ' cos z^ = cos [xz + ii cos (/x — a)z+^ cos (|x — 4) ^

qui, comme l'on sait, exige que l'on s'arrête lorsque l'arc devient négatif, et que l'on ne prenne que la moitié du coefficient du cosinus de l'arc nul que l'on trouvera, si /x est pair. Il résulte de là, que l'on a d'abord

(i + ncosz) •=! — ncosz+-.-:rrcos^z — . 7. ^/ï'cos*z

~** ~7. /*• rï '* cos jz • • ■ • • ,

ensuite, en ordonnant par rapport àcosz, cos 22, cos 3z,..., il vient, toute opération faite,