n.q.ii.i3 - H
(l-h/îCOSZ =1 2/r2« I
La'. 2 2^2.2.4 25.2.2.4.4'6 27.2.2.4.4-6.6.8 J
I /^af '«3.5 2.3.5.7.0 a . 3.3.5.7.0. Il .i3 . 1
I q-bT ï.a.3.5.7 , 2.3.3.5.7.0. Il - 1 o
La^.2.2.4.4'^ 2^.2.2.4. 4'6. 6. 8 J
série convergente , lorsque n est plus petit que l'unité. Si Ton désigne respectivement les coefficients de ses termes par q, 7', 7% ç",.--? ^^
aura
(C) ( ^ j =q — q'cosz+q"cos^z-'q'*'cos'iz+q^^cos^z
Avec un peu d'attention, l'on reconnaîtra que le terme général du premier polynôme q de cette série est, en désignant par h le rang de celui que Ton cherche ,
et que le terme général du polynôme 9^'^ cos(z — i) 55, occupant le rang i dans cette même série , est
-*-^ ^ L+ 2('+«*-3)2«. 4v6« [2i+2A-4f jcosi^'- 1 j2,
le signe — ayant lieu lorsque 1 est pair, et le signe -H lorsque i est impair; et les facteurs h[h+ i) . . . [1 + A — 3] ne devant être pris que quand [î+A — 3] est plus grand que h.
174. Il nous sera encore utile, par la suite, de connaître le développement de la valeur de
procédant suivant les puissances de e. Dans cette vue, soit. . . . A= I -H VI "~ ^* =T"» on aura X: = 2 — 7 •" or, par un théorème de Lagrange, généralisé par Laplace, lorsque^ = a -H or y {jr)y on di {Cale, différ. de M. Lacroix, tome I, page aSa, 2® édit.)
da* * 2.3
3ia TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Ck>mparant donc
avec la proposée /
on a
par conséquent si l'on veut avoir la valeur de k^, auquel cas. • . • f^jr) = A:", on aura
Ainsi la substitution de ces valeurs, dans la série précédente , donne
Mais à cause de k^ = -, on a A*;*=-7^; donc
Donc enfin
UVRE TROISIÈME. 3i3
Cette série , dont le terme général est
/ g Y ( " ("+0 ("+'+ ' ) («4-f--l-2) («H-i-4-3) . . > [tf +(2f — 3)] / e Y^^- ' ^ ) \2y ( 1.2. 3. 4. 5. .,(1—1) \i) )'
trouve son application dans les hautes sciences mathématiques {^oj, le tom. I de la Mécan. céleste, page 180) 9 où il est cependant nécessaire de corriger une petite faute non signalée et facile à reconnaître , d'après ce qui précède.
Applications des séries fondamentales,
175. En prenant le logarithme de la valeur de la normale N donnée à Tart. 170^ l'on aura , à cause de la série (B),
log N = log û + I log (i + w) — 4 log ( I + n cos aH) = log a + |log(n-/ï) + |log(i -h m*)
— |x(mcosaH — |fn*cos4H-|-^w' cos6H— ...) = log a -^ fJL[m — \m^ -+-|m*— )
— jx(fncos aH — ^iii*cos4H-|-|^mcos6H— . . ),
Par la même raison ^
log N' = log h /x(w — I w* + |/n' — . . .)
-- /u{m cos 2H — -^m^ cos4H-+-^m'^ cos6H — ...), log p = log-^+3|x(/n— im^-+-|»î» — ...)
— 3yu(/7icos aH — ^m^cos4H+-|^m*cos6H — . • .),
et ainsi de même pour les logarithmes des autres lignes du sphéroïde. Pour ce qui concerne le logarithme du rayon de la Terre, son développement en série sera un peu différent; car de l'équation (5"), art. 170, on tire
log - = I log (i + n) + ^ log ( i-t- 7i' cos aH)
— i log ( I + /î') — I log ( I + n cos aH); I. 40
3i4 TBAITÉ DE GÉODÉSIE.
et à cause de
log(i + /îcosaH) ±= — log(n-m*)
+ a [i (mcos tH ^ \m^ cos^'R+ ^m^ cosôH — . . .},
et de la relation ^~^'""^ = m^ on aura pareillement
log(i+/ï'cosaH)= — log(i+7n'')
-|-a^(/w'co8aH — ^/n'^cos4H-|-^w'*cos6H— . • .).
D'ailleurs on sait par ce qui précède, que n' = ——; ; donc m' = /î ,
ou /w' = -; mais comme n est plus petit que l'unité, cette seconde
valeur de m' ne peut être admise, puisqu'elle rendrait la série divergente; donc
+ /x[(/i— m)cosaH— 1(«*— m*)cos4H4-|(n*— m')cos6H— ...]; et puisque n = ,, , m = , , à cause de e^ = ; — , on a
donc enfin
logr = log« + log[|lt^]
+ |JL [(^^— ^'î) cos aH — |(/i* — m*) cos4H + \ (n^—m^ ) cos6H — . .].
Dans le second volume de la Méridienne ^ et le discours préliminaire des Tables du Bureau des Longitudes j Delambre a donné le logarithme de r en série ordonnée , comme la précédente , suivant les cosinus linéaires de la latitude ; mais j'ai préféré d'en rendre la loi des termes manifeste.
Voici ce logarithme , en fonction de l'aplatissement :
logr = log/i-|UL[|a — |a»-.^a'-(ia+|a*-^a«)cosaH
|{a*4-a')cos4H — ^a*cos6H + . . .].
Si 9 au lieu des logarithmes, on voulait les valeurs mêmes de ces lignes, voici comment on procéderait pour arriver encore à des séries régu-^ Hères et fort simples.
Par exemple , la valeur de N élevée au carré donne
et, par la formule (A) de Tart. 47 1, on a
— = (-3-) (i — amcosaH + aw^cos4H — a/w' cos6H-f- )
= j(i — 2mcosaH+ a/ii^ cos^H — am'cosGH-h ....).
Il est évident que les expressions des autres lignes du sphéroïde se transformeraient également en séries de même forme que cette dernière.
Comme toutes ces transformations sont très-faciles à effectuer, je me dispenserai de les donner. J'observerai seulement que , pour parvenir aux valeurs des premières puissances des lignes du sphéroïde, qui ne continssent de même que les cosinus des multiples de la latitude, il serait nécessaire de suivre la méthode donnée à l'art. 173, pour développer ainsi l'expression du rayon de courbure du méridien ; mais alors la loi des coefficients serait bien moins simple que celle ci-dessus.
176. Il est à remarquer que les valeurs de n et «de m, élevées à une puissance entière ^elconque, peuvent ètpe exprimées aussi en
séries régulières ; car d'abord puisque n = —3-7 j on obtient sur le
champ^, par la forjoule du binôme,
3i6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
et ensuite , par la méthode connue de l'élévation d'un polynôme à la
puissance u,
-Wj +[„+»j^+ï(ï=iiiî=î)](ii)'+...j'
d'ailleurs
, un a^ — b^
ou , si l'on veut ,
/î' = a/ï (i + n^)'* == an (i — n* + n* — n« + ).
11 s'agit aussi de connaître la valeur générale de m" : or on a vu , à Tart. 171 , que ^~ ^""^ = m; par conséquent
iH — a
i-*-V^i — tf* \i-4-/i — g*/
expression qui est la même que celle de l'article 174; on a donc généralement y en vertu de l'équation (D) y
\a/ ] , 2«(aa + 5) (att + 6) (a» + 7) /g\« ^ l'
177. On ne peut évaluer numériquement toutes les séries précédentes y sans connaître les axes de la Terre. A l'instar de la Commission des poids et mesures , qui fut créée à l'époque où l'on introduisit en France le système métrique décimal y j'emploierai à cette recherche les arcs de méridien , mesurés à l'équateur et sur le territoire français y afin de parvenir aux résultats mêmes dont cette Commission rendit compte à l'Institut national , par Torgane de M. Van-Swinden. {Fbjrez le rapport de ce savant, inséré parmi les Mémoires de cette docte Assemblée 9 tom. II , page 4 3)* Mais, avant tout, il s'agit d'intégrer l'équation différentielle d'un arc du méridien.
D'abord, à cause de la série (C) , et de la valeur de ds donnée à Fart. 170, on a, en intégrant,
s = ^'(i + nf r9H-i-'sinaH-|-^8in4H-Ç8in6H+ .... 1;
la constante étant nulle , puisque l'arc s s'évanouit en même temps que H.
Il est évident que pour un autre arc s'y terminé à la latitude H', on a de même
j' = ^ ( 1 + « ) » çH ' - 1^ sin aH ' H- ^ sin 4H' - ^ sin 6H '+ . . . J ;
ainsi, entre les limites H et H', considérées comme les latitudes des extrémités de l'arc A , on trouve , d'après l'art. 4S ,
ç(H-H')-ç' 8in (H-H')co8 (H + H') A = ^(H-nf| +i^sina(H-H')cosa(H+H')
-Çsin3(H — H')cos3(H + H')...
Pour un autre arc A compris entre les latitudes A et A' , on a pa reillement
'ç(A-A') — î'sin (A-A')cos (A + A') A'=*I(n-/i)^| +^sina(A-A')co8a(AH-A
— ^sin3(A — A')cos3(A+A').. ..)
Dans la vue d'abréger la notation , soient
3i8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
alors les deiiK équati<M)S précédentes seront
A (99 "" î' sin çcos4> + — sin aç cos a$ ' — ^sin 3(p cos3$...
, (îy'— î'siny'cos<^+ -sin aç)' cos a4>'
— ^sin 3ç' cos 3^. . .
Pour en déduire une relation entre les quantités connues et les puissances de l'excentricité, il faudrait remplacer ç, q\ 9", q'"^ par leurs valeurs en €'; or, en bornant l'approxiiiiiation aux termes «n e^, on a, par ce qui précède ,
et par suite
puis substituant ces valeurs dans les équations (M), il vie»t
i H û^* sin a© cos a4> 1
Al .( ( I +n7^M ç' — 7(e*+-e* jsin©' cos^)
\ + -^ e* sin 29' cos a$' )
Mais il est possible d'obtenir plus promptement d'autres valeurs analogues de A et A', en développant immédiatement en série l'expression différentielle d'un arc de méridien, savoir.
ds =
(1— e*ttn*H)»
et en intégrant ensuite entre les limites H et H'. En effet Ton trouve
d'abord
puis, changeant les puissances des sinus de H en cosinus d'arcs multiples par le procédé connu , et intégrant , il vient
s=a{i — c') pH — -^8inaH+jp"sin4H— .-.l,
série dans laquelle
et où la constante est nulle , puisque ^ et H s'évanouissent en même temps. On a donc , à l'aide de la notation ci-dessus ,
(M'>i ( ^ =^(ï ^O [P9 — /^'siny cos$ +^/i"sina(p cosa$ — . . .J, ^ ( A'=a(i — e^) [pç'— //sin9'cos$'-|--|^^"sin2ç'cos2$' — . . .].
Il s'agit maintenant de déterminer e^ et a par la combinaison de ces deux arcs : or, en divisant l'une par l'autre les deux dernières séries précédentes , il vient
A pif — //$inf C08* +7/7''9in2fcos2<fr
A' />y — // sin^' cos*' -h 1/?" sin 2y cos 2*' '
puis y chassant les dénominateurs , on obtient cette relation
(/w) Mp - N// 4- ^¥p" = o
lorsque , pour abréger, l'on fait
N =Asin9'cos$' — A'sinçcos^,
P =Asin29'cos2$' — A'sinaçcosîi€>,
et que n désigne la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon est l'unité.
La relation [m) est propre à faire connaître la valeur de e^ en y substituant pour Pj //, p'' leurs valeurs précédentes. En effet l'on a
M-?e»(N-M)-|-i^e*(3M-4N+iP)=o;
mais pour simplifier un peu le calcul numérique, nous la multiplie-
rons par i — 7 e*, en ne conservant cependant, dans le produit , que
les termes en e^ et en e* ; alors ce produit sera
Remarquons d'ailleurs qu'à cause de la petitesse de e* et de celle du
coefficient de e* qu'on obtiendrait en divisant tous les termes par j N,
on peut, au lieu de résoudre cette équation du second degré, employer la méthode des approximations successives. Dans ce dernier cas, l'on trouve sans difficulté cette série
au moyen de laquelle les trois premiers termes donneront toujours e' avec une grande précision : souvent même on pourra se contenter du premier terme , et obtenir ainsi avec assez d'exactitude
en faisant A„ = ^^, et A'^ = , , et exprimant les amplitudes f , f' en degrés et décimales de degré ; c'^t-à-dire les angles H — H> A — A',
Applications numériques.
178. Selon les mesures de France et d'Angleterre, l'arc du méridien compris entre Greenwich et Formentera , corrigé de toute erreur [Nous^elle Description géométrique de la France^ tom. II, p. 6io) ,
^* A = 73o53îiT,8
Latitude de Greenwich H = 5i^28'4o"
Latitude de Formentera H' = 38 . Sg . 56, 1 1
Selon les mesures du Pérou , l'arc du méridien coupé par l'équateur
et vérifié par Delambre , est A' = 176877*^,0
Latitude boréale de Gotchesqui. , A = -h o®a'3i",o Latitude australe de Tarqui. . . A' = — 3.4.32 ,0
y' = A — A' = + 3.7. 3 ,0 ainsi l'on a d'abord
log A = 5 . 8636398 ; log A' = 5 . 24767 14 j
logç = 1. 1076234; y = 12^8121917; 0 = 9o«8'36%i;
log y' = 0.4938065 ; f ' = 3^1175 ; O' = ^ 3^ 2' i".
Opérant ensuite par les logarithmes à 7 décimales, il vient M = 196,41; N = 39771,6; P = 155390; et par la relation (N) on a
1" terme. a* terme. 3* terme.
logM = 2.293i636 logP = 5.19142 c.logN = 5.4004^70 c.logN = 5.40043 logl = 0.1249388 log^ = 9.19382 logl = 9.69897^
loge: = 7.8185294 a loge; = 5.63706 5.63706
1®' terme. -H o,oo65846o 2* terme. + 0,00002647 3* terme. — 0,00002168
3îia TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Le carré de l'excentricité étant connu maintenant , on tirera l'aplatissement a de la relation
e* = aa — a*.
laquelle donne , sans erreur sensible,
on a donc
Delà
loge» = 7.81885
