en mètres

181. Les mesures de France, comprises seulement entre Dunkerque et Montjouy, furent combinées avec celles du Pérou non rectifiées , lors de rétablissement de notre nouveau système des poids et mesures , dont l'unité fondamentale est le mètre ou la dix-millionième partie du quart du méridien ; et elles conduisirent à des résultats assez différents de ceux qui précèdent, puisque le quart du méridien fut trouvé de 5i3o74o

toises, et l'aplatissement terrestre de ^^. Ainsi le mètre légal est de

443"*^-, 296 de la toise de fer de l'Académie , prise à i3* de Réaumur; mais , d'après la rectification que Delambre fit ensuite à quelques éléments des calculs des deux: arcs cités 9 Ton aurait, selon nous,

Q = 5i3iiio* = 10000722™, et a =

par suite,

log a = 6.8o46i3o; a = 6376950""; log b = 6.8o32o63; b = 635633o"*. (*) .

Néanmoins tous les calculs géodésiques relatifs à la triangulation de la carte de France supposent , comme Delambre ,

Q = 10000724*", et a = o,oo324 = J^g^? en sorte que l'on a log/i = 0.0021 147; log/?' = 7.6894243; logp' = 4.99165,

et enfin

log a = 6.8046154 ; log a = 7.5io545o; logé = 6.8o32o6o; loge^= 7:8108714.

Ces remarques sont utiles pour le lecteur qui voudrait procéder à la manière de nos ingénieurs-géographes.

En bornant, comme nous venons de le dire, l'arc méridien de France à Dunkerque et à Montjouy , où les latitudes ont été observées, mais prenant pour sa longueur celle que nous avons trouvée de 55 1 6 1 6^,9 iyojrez liv. YI, chap. 2), et adoptant les latitudes de ces deux stations telles que Delambre les a données en dernier lieu. Ton a

Latit. de Dunkerque. . . H = 5i^ 2' 8",5o Latit. de Montjouy. . . . H' = 4i-^^-46,58 Arc mesuré A = 55i6i6*,9.

(*) Voyez la Nouv^ descripu géom. de la France , tome II , page 606.

3^6 TRMTÉ DE GÉODÉSIE.

Ces quantités étant alors combinées avec celles relatives à l'arc du Pérou, l'on trouvera

M = i53S2o; N = 3iaoo*,76; P = 1 17976*;

et la série (N) donnera

e^ = 0^0065469 + O9O000253 — O7OO00214 = o,oo655o8;

après quoi Ton aura

loge^ = 7.8162943 et loga = 7.5159798; ainsi

a = 0,0032808 = ô-T-j; ou simplement a = ^-g.

Passant ensuite à l'évaluation du quart du méridien , l'on aura d'abord log j9 = o.oo2i4i6; log — = 7.6927530; log — = 5.oo25o;

et à cause de log A = 5.7416375, log ç = o.98555o3, il viendra, en vertu de la formule (P),

log numér. = log^TrA = 5.9377574, dénom. = o,i6882i5 + o,oooo347 — 0,0000017 = 0,1688545, log dénom. =9,2275127.

De là log Q = 6.7102447?

et enfin Q = 5i3i5o5* = 10001491"';

ce qui porterait la longueur théorique du mètre à 3p'oP^ii',362, et donnerait en valeurs métriques

loga = 6.8046572, logé = 6.8o323o4; ' \ a = 6377600», i = 6356680"».

On voit donc que 9 malgré la correction que nous avons cru devoir faire à la longueur de Tare de France employé à la détermination de l'unité fondamentale de notre système métrique ^ la longueur ci-dessus du mètre excède seulement de 7^ de ligne celle fixée par la loi.

En définitive, quels que soient les différents résultats qu'on obtienne pour la longueur du quart du méridien , le mètre légal déposé aux archives du Royaume 9 est censé la dix-millionième partie du quart du méridien d'un ellipsoïde JictiJ àe révolution dont la surface s'écarte le moins possible de celle de la Terre ; et il est évident que s'il venait à se perdre 9 les mesures géodésiques en feraient retrouver la longueur avec un degré de précision capable de satis&ire aux besoins de la science. Mais les observations du pendule qui seront l'objet du chap. 4 du liv. YI , conduiraient bien plus rapidement au même but.

182. L'expression analytique de Q provenant de la première valeur de s de l'art. 177, dans laquelle H =2=90^, se développe en une série régulière et très-remarquable, comme nous allons le faire voir.

D'abord, à cause de

on a

mais (art. 173)

Par conséquent ,

, 2\ " -.2 »-3.S 4 1.3.5.7.9 - 1.3 5.7.9>ii.i3 , ^

et enfin

/ tf»\i ir/ I . 1.3.5 . 1.3.5.7.Û g 1. 3.6.7.9.1 i.i3 \ , ^/ ^

Lorsque 6 = 0, on a e* = — ^ — = i, n = __ ^ =1, etQ = a; partant

"""'""4^ ""4^8» "■ 4».8Ma» 4».8m2M6» "" •• •

C'est aussi ce que Ton trouve à l'aide d'une valeur générale du quart d'ellipse 9 donnée par Legendre dans les Mémoires de t Académie des Sciences^ pour l'année 1786.

1S3. lia méthode par laquelle nous avons réduit en séries procédant suivant les multiples des cosinus de la latitude , les logarithmes des diverses lignes du sphéroïde terrestre 9 est surtout usitée en Astronomie , et dans tous les cas où elle peut rendre les intégrations plus faciles ^ ou bien lorsque l'on veut calculer les termes d'une série convergente, indépendamment des tables de logarithmes; Mais l'emploi de ces tables

permet de développer tout simplement les fonctions r-— r; et

log (i + /z cosz)'% en séries procédant suivant les puissances des cosinus de l'angle z ; parce que l'évaluation de leurs termes ne se fait pas avec moins d'exactitude. On pourrait, par exemple, calculer la valeur du logarithme de la normale N, au moyen de la série suivante :

logN = loga + ilog(i + n)

[lin cos 2H — — cos* aH -+- ^ cos* 2H — . . • ) ,

ou même de cette autre

logN = log a H- ||xf e^sin' H H sin^H-4--Y8in*HH- . . . ] ,

qui dérive de Tune des équations (4) de l'art. 167, et dans laquelle le module /JL = 0,434^9448- On aurait par le même procédé,

logp =loga + alog^^^

-H -jtJL {e^ sin*H -| sin* H -+- -5- sin • H H- • . • j.

' LIVRE TROISIÈME. Sag

Cependant il importe , dans la pratique, de choisir parmi les séries d'une même expression , celles qui convergent le plus rapidement. En voici d'autres qui ne sont pas moins utiles en Géodésie.

Les valeurs ci-dessus de log N et log p font voir sur-le-champ que

logp = 3 logN + a log- - 2 loga = 3 log N H- log^,

et que par conséquent le logarithme du rayon de courbure du méri • dien peut facilement se déduire d'une table qui donnerait celui de la normale N 9 connaissant d'ailleurs les logarithmes de a et de 6. Quant à la valeur du rayon r, on la mettra sous cette forme :

r= p yji — e^ (a — e* ) sin *H.

Passant de là aux logarithmes et faisant ^ pour abréger, e% i — e*) = A:% on trouvera facilement cette série régulière :

logr=logflH-ifjL[(e»^A:^)sin^H+|(c*-A:*)sin*H+i(e*-A>n*H...,];

mais en bornant la série aux termes en a^, on a simplement logr = loga — ^ltJL(e* — e*)sin^H — Ifjie* sin*H;

et en éliminant log a donné précédemment , il vient

log r= log — + ||x6^cos2H+xî-i^^*-l" ai^^*sii^*H — |e*sin*H...,

ou en fonction de l'aplatissement,

log r = log ^.^i|ULacosaH+-ïVf^a' + ïfJ^a* cosaH -. |/^a^cos4H... ,

Q représentant, comme ci-devant, le quart du méridien, et n le rapport de la circonférence au diamètre.

Si l'on voulait la valeur immédiate de ce rayon , elle serait donnée I. 4a

33o TRAITÉ DE GÉODÉSIE,

par cette série régulière

Faisant disparaître le radical en élevant à la puissance | la quantité qu'il renferme , et s' arrêtant j dans le développement ^ aux termes en e* j il vient

r = ^ [i- l(e> - e*) sin ^H - f e* sin*H...].

Remplaçant maintenant e^ par sa valeur ^a — a*, on a enfin , sans erreur sensible et toutes réductions faites ,

r= a(i— asin*H-H|a* sin'.aH),

expression toujours suffisante , à cause de la petitesse du 3® terme , et à plus forte raison, des termes subséquents.