CHAPITRE XIV
CONTINUATION DE LA RECHERCHE DES EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES DIVERSES LIGNES DU SPHEROÏDE TERRESTRE.
184. On s'est proposé , à l'art. 177, d'exprimer un arc d'ellipse en fonction des latitudes de ses extrémités ; mais j dans la pratique de la Géodésie, il est quelquefois plus commode, lorsque cet arc a une petite amplitude, de l'avoir en fonction de son rayon de courbure.
Soient A un arc du méridien , U son amplitude , H la latitude de son extrémité sud , et p son rayon de courbure au même point ; on a en général , par le théorème de Maclaurin ,
les valeurs des coefficients diflférentiels étant déterminées pour le cas où U = o. Mais, par l'art. 170, ( ts ) = ^^'""^'^ = p; si donc on
calcule les coefficients différentiels suivants , en ne conservant que les termes en e^, on trouvera aisément
3 I « sin^H ■.^^« . 3 ^ « cos^H
^ ^ ^ a 2 "^ I — e*sin»H a 2.3 ' i — tf*sm*H
3 2* , siii2H TTA 2 2.3.4 ' — tf*sin»H
série régulière et qu'on peut écrire plus brièvement ainsi : A = pUsini" + j^pN^sinaH.U'sin^i"
i^ pN*cos2H.U*sin» i^ - ,
en supposant Taniplitiide U exprimée en secondes , et désignant par N la normale à la latitude H (^.
Or il est remarquable que tous les termes enU^,U*,U*,... forment cette suite:
V — ?îl£ sinaH r(iU)« (aU)^ (t>U)^ 1
^ ~2 2» • I— ^»sm»HL 2 2.3.4 "^ a. 3.4.5.6 "y
tandis que les termes enU', U*,U^,... forment celle-ci :
Y'—^îH COS2H r(2U)^ (2U)S (!&U)7 1
2 2* * (i— e»sin»H) [ 2.3 2,3.45 2.3.4.5.6.7 *"'J'
ainsi 9 en négligeant les termes en e^, on a
V =|e* p sin 2H [ I — cosaU], V =|e* p cos 2H[2U — sin 2U] ;
et partant , sous forme finie ,
A = p\J+^e^p[sin!kR(i — cos2U)-4-cos2H(2U — sinaU)] = joU H- |a^p [sin2H — sin 2(H -4-U) + 2UC0S 2H].
Mais si H et H' sont les latitudes des extrémités de A , on a U = H^ — H^ et par conséquent
A=p(H--H)[i+|e'cosaH-|e'"°"'^^»'+°].
(*) Cette série, qui a la forme A = f»U +c»'U* +c»"U'. . . , se rapporterait à un arc de méridien dont l'origine H serait au Panthéon et l'autre extrémité plus au nord , en faisant
logr= 5. 0460677, logp^ = 0.9715463 9 logc»" = 8. 16797;
ce qui suppose que les dimensions de Tellipsoîde sont celles admises dans les opérations géodésiques de la carte de France ( £81 } , et que Tamplitude U de Tare est exprimée en degrés sexagésimaux. Cette amplitude devrait être prise négativement si Tare A s'étendait au sud du Panthéon. (Voyez Descript, géom, de la France , tome H, page 636.)
en faisant
On voit donc que les longueurs des degrés sur l'ellipsoïde de révolution croissent de Téquateur aux pôles , sensiblement comme les carrés des sinus des latitudes de leurs milieux.
Pour un autre arc M' d'un degré, correspondant à la latitude ij^', on
a pareillement
M' = P+Qsin*f ;
ainsi généralement
M--M' = A("^=Qsin(ij;-hf)sin(4/-.f),
et pour deux degrés consécutifs , leur différence est
A^'>=-^a6^(i — e2)sin(2f-Hi^)sini*>.
Par exemple, à la latitude de 48**5o', et en admettant pour valeurs de a et de e' celles de l'art. 181, on trouve que l'accroissement d'un degré à la latitude de Paris, et en allant vers le nord, est A^'^ = i8",4.
Les valeurs ci-dessus de M et M' étant divisées l'une par l'autre, conduisent à celle-ci :
2 ^ 3 (M sin> Y — M' sin» ^^) ^^
formule attribuée à Maupertuis et qui donne approximativement l'aplatissement de la Terre par la mesure de deux degrés de méridiens, pourvu cependant qu'ils répondent à des latitudes très-différentes , afin que le dénominateur de a soit le plus grand possible. Cette condition étant remplie par les degrés de l'équateur et de France, on a, d'aprèsl'art. 178, et en vertu de la notation actuelle ,
En France, M = iiii3i"»,a, ^};= 45^ 4'i8%o5; A l'équateur. M' = i loSSa"*, i , f^'= — i .3i . o,5o. Delà
résultat bien peu différent de celui que nous avons obtenu précédemment en poussant plus loin Tapproximation.
185. La méthode employée ci-dessus , pour développer un arc en série ordonnée suivant les puissances de son amplitude, s'applique également au problème inverse. En effet, on a généralement
mais
/rfH\ (i— g'sin'H)» i^ \dÂ) fl(i— e») "" p '
cherchant donc les autres coefficients différentiels , et ne conservant que les termes en e^ ; puis faisant attention que c^ t; = tang^ I , et que
N = p' = , on obtiendra en parties du rayon ,
(ï--tf»5in*H)»
(II) U = 7 tang^ I sin aH. —7 . — 5 tang^ I cos 2H. -—,
-.— ^-rtang^IsinaH. -r?
a 2.3.4 ^ py
série encore régulière , et dont la loi des termes est en évidence. Jamais, dans la pratique, on n'a besoin de tenir compte du quatrième terme.
Si l'on bornait la série au terme A', et que l'on conservât la quatrième puissance de l'excentricité , on trouverait
/TTTN TT A 3a* e* sin aH . «
(III) u=- iF^p—^
fl^ fcosaH g' sin» aH /3a' JLW A»*
~ ^ L"py" 4p \^' P'* «*P / J '
mais comme, par cette formule, l'amplitude U serait donnée en parties de l'unité , il faudrait , pour l'avoir en grades , multiplier tous les termes
du second membre par - — , n ayant la même signification que cidessus.
186. Jusqu'à présent nous n'avons considéré que le rayon de courbure de l'ellipse génératrice de l'ellipsoïde de révolution : occuponsnous de la recherche de celui d'une section faite dans ce corps, par un plan mené d'une manière quelconque suivant une des normales; et, pour cet effet, désignons par x'^ jr' les coordonnées rectangles d'un point de la limite de cette section verticale; prenons pour axe des x' la normale à un point du méridien elliptique ayant H pour latitude; plaçons l'origine des x' au point d'intersection du rayon de l'équateur et de la normale dont il s'agit; enfin, désignons par Xyjr^ z les coordonnées rectangles d'un point quelconque de l'ellipsoïde de révolution, de manière que le rayon ^de l'équateur soit l'axe des Xj b celui du pôle l'axe desj^, et la droite perpendiculaire au plan des xjr l'axe des z. Gela posé, l'équation de l'ellipsoïde, rapportée au
centre, sera
or, pour trouver en général l'équation de la section faite dans ce .corps, il faut, comme l'on sait, substituer à Xj j^ z les valeurs suivantes :
ia==>3 -hJc'cosH-t-j'-'sinHcosô, ^ = jtr' sin H —jr' cos H cosô , z ^=jr' sin Q ,
dans lesquelles 9 est l'angle que le plan sécant fait avec le méridien xjr^ et fi la distance du centre de l'ellipsoïde au point où la normale ren-
contre le rayon de l'équateur (art. 167) , auquel cas yj = \ ;
(i— e»sin*H)"
e désignant toujours le rapport de l'excentricité au demi grand axe.
Ges substitutions faites, on a un résultat de cette forme :
(3) mx'^-\-ny'^ — px'j'-^qx'-^rjr'^s-j
c'est l'équation à l'ellipse , ou celle de l'intersection cherchée. Il est facile de voir que l'on a
m =a^sin^H+ i^cos^H, n — i' + (a^ — 6')cos'Hcos*0,
(4) { p =a(a^ — i^)sinHcosHcosô, q = ^rib^cosRj r =2>j/;^sinHcosô, j* =(a* — yj*)i-.
Lorsque cette ellipse est perpendiculaire au méridien , on a d = ^ tt et pour lors cos d = o ; circonstance qui réduit l'équation (3) à la suivante :
(5) (û»sin*H + *»cos»H) a/* -+- i>7**cosH.x'-4. A>j'* = [a" - yj^) i% et de laquelle , en faisant f=o, l'on tire
"" <i»siii»H+^»co8»H '
Soient donc x[ , x\ ces deux racines , abstraction faite de leurs signes ; on trouvera j avec un peu d'attention , et après avoir mis pour in sa valeur rapportée ci-dessus,
(ï— <î*sin» H)* (i — c»8in»H)^{i — tf»cos»H)
la première racine est la normale N' (art. IGT), et la seconde racine , la partie opposée de la corde x[ xl .
Soient en outre a' le demi grand axe de l'ellipse dont il s'agit, et b' son demi petit axe; on aura
Pour trouver le demi grand axe , on chassera le second terme en x' de l'équation (5), et cela en faisant x' = a/' - ^.^in.n + ^^'H^ ^^ cette manière qp aura
OU , pour abréger, ^
Mais à x^ = o correspond y=^a'\ partant
(i— c'sin'H)' (r — «»cos»H)^ ^"^
Si au contraire on faisait y = o, on aurait x" = 6', et l'on retomberait sur la valeur du demi-axe trouvée ci-dessus , ou , ce qui est de même , on aurait
Enfin , désignant par e' l'excentricité de cette même ellipse , on aura
et , à cause des valeurs précédentes ,
^»sin*H
I — <?*cos* H'
187. Maintenant, pour avoir l'expression générale du rayon R de courbure de la section que l'on considère , quelle que soit d'ailleurs la valeur de l'angle 9, nous ferons usage de la formule connue, sa-
voir :
dans laquelle la différentielle dy* est constante; et pour introduire ici
les valeurs de v-yet -i-yz-t nous différencierons deux fois de suite l'é-
df <r
quation (3) ; mais comme nous avons en vue de trouver le rayon de courbure à l'origine de la normale à l'ellipse du méridien, nous ferons alors jr' =1 o dans le résultat de la différenciation , en sorte qu'il viendra
et puisque la section est faite suivant cette normale, on a (art. 167)
«(i — ^»sin»H)* y
Il résulte de là et des relations (4), que la quantité r — px' = o; donc quand le rayon de courbure cherché coïncide avec la normale à l'ellipse du méridien , on a simplement
2/Wx'
Remplaçant maintenant m, ç, /i, jc' par leurs valeurs précédentes, on a , pour une section verticale quelconque ,
(i — c* sin»H)''[^»-H(a» — 6»)cos*Hcos*ô]
Soient p et p' le rayon de courbure du méridien et celui de l'arc perpendiculaire au même point; on aura le premier en faisant d = o, et le second en faisant B = loo^ : ainsi, comme l'on sait d'ailleurs, les rayons de plus petite et de plus grande courbure de la Terre sont
P = Tj P = T-
a{i— e*siii*H)' (i — tf»sin*H)»
On voit par là que la valeur de p' est égale à celle de la normale N (art. 167).
Afin de donner à l'expression (6) une forme symétrique et dépendante de py p% on pourra d'abord écrire
ïx =
è»4-(a»--ô*)cos*Hcos»0 ô» + (a* — ft»)cos*ô — (fl* — ft*)sin»Hcos»Ô'
et mettre fe* sin* ô + 6* cos^ 6 au lieu de b^; ce qui donnera
fl*cos*ô(i — e»sin*H)-|-ô*sin*ô
L(i— c»sin«H)^ a(i — <r*Mn*H)>J
enfin,
^7) *'• = psin*ô-+-p'cos»Ô'
34o TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Tel est le résultat auquel Euler est parvenu le premier, par une autre méthode analytique. Il exprime une propriété remarquable de l'ellipsoïde de révolution; mais cette propriété, commune aux sur* faces courbes en général {vojr. la théorie des osculations de ces surfaces, Calcul différentiel de M. Lacroix, tom. I, pag. 372, a* édit.), se démontre très-directement, par l'analyse précédente.
188. Une ligne géodésique menée dans une direction quelconque, se confondant sensiblement, dans une étendue de plusieurs degrés ^ avec la section verticale correspondante , ainsi qu'on le prouverait à l'aide des formules que nous donnerons par la suite, il s'ensuit que l'arc d'un degré d'une section perpendiculaire au méridien peut être pris pour l'arc de plus courte distance ayant même amplitude et même direction. Cela posé, si l'on désigne par D, M et P le degré oblique, le degré du méridien et celui qui lui est perpendiculaire , on pourra , dans l'expression (7) , remplacer R, petp' par D, M et P, puisque les arcs semblables sont entre eux comme leurs rayons; on aura donc
M8in»ô-hPco$»ô /P— M\ . ^J
OU réduisant en série , et n'en conservant que les deux premiers termes, il viendra
(8) D = M(n.?^sin»e).
Quoique cette formule ne soit qu'approximative, puisque les arcs D , M , P, en vertu de la propriété des rayons de courbure , devraient être infiniment petits , cependant c'est ce qu'on peut proposer de mieux pour la pratique. Pour en faire usage, il faudrait connaître M et P. Or, nous avons déjà donné M en fonction de son rayon de courbure (art. 184) : cherchons à exprimer P d'une manière semblable. Dans cette vue, remarquons que si, dans la série (I) (art. cité), on suppose H = 90^, alors U sera négative , p = p', et l'on aura simplement
Mais, par l'art. 186, l'origine d'un arc P' perpendiculaire au méridien est l'extrémité du petit axe de cet arc elliptique ; ainsi , à cause de
^1 = -^ et parce que c* se change en e'*, on a en généra]
P' = i5?P'u(i-ie'sin«H.£,U»).
Or, à la latitude de 49^9 qui est à peu près celle de Paris, pour une amplitude U de 5® et un aplatissement de j^ , le second terme de cette valeur serait de %ù^ environ, tandis que le troisième terme n'irait pas à un décimètre ; on a donc la longueur du premier degré
de l'arc F censé mesuré, en prenant la valeur de -g-p' de l'expression précédente. Soit P cette valeur; alors
âfr
180(1— ^sin»H)^
Maintenant si l'on suppose que les longueurs M et P d'un degré du méridien et d'un degré perpendiculaire à la même latitude H , soient connues , on pourra, par la combinaison des formules (m) et (/i), déterminer l'excentricité de la Terre. En effet, on tire de ces deux formules, et à cause de e^ = sin* I,
I — sin»l8in»H' cos'
par suite,
Msin^I+Mcos^I — Msin^Isin^H = Pcos*I+ 7-^ Psin'^Isin aH;
P enfin , à cause de ^ = i à très-peu près , on a
tang' I =
Mcos«H(.-|.^tangHy
OU bien
— ^j — = tang^Icos*H — T--g-tang*IsinaH.
Mais le second terme de cette expression est évidemment très-petit ; si on le négligeait , on aurait la relation 77 = tang^ I cos^ H ,
donnée par Delambre, dans la Connaissance des Temps pour l'année 1818, page a 5a : toutefois, il paraît convenable de conserver ce terme. Tang I étant trouvée par ce moyen , on aura e = sin I , et par suite , aplatissement a = asin^^I, comme on Ta déjà dit (art. 184). Dans toutes ces formules , n désigne la demi-circonférence d'un cercle dont le rayon est l'unité. Bien entendu que si H était la latitude de l'extrémité nord de M , il faudrait , dans la dernière formule ci-dessus , faire -jr- négatif.
Si, au lieu de connaître P, on connaissait l'arc B d'un degré du parallèle à la même latitude , il est facile de s'assurer qu'on aurait
B = r> et par conséquent — r=. = P.
O / ^ • 3xi\T ^ QOhR
100(1 — ^sin^H)*
Nous pouvons actuellement donner à la relation ( I ) une forme toute / % nouvelle ; il suffit pour cela de remplacer M par sa valeur (/w), et de '
taire attention que = . — = à fort peu près ; on
aura en conséquence
{d) D=-j^(n-^.-^tang^IsinaHcos^e + tang^Icos*Hsin^ôy
189. Il est utile de connaître en général la différence des normales N , N' correspondantes aux latitudes H , H'. Pour l'avoir en série développée suivant les puissances de H'— H = AH , soit
