N'=/(AH

y^ étant le signe d'une fonction quelconque; on aura , par le théorème

de Maclaurin ,

les valeurs des coefficients différentiels étant prises pour le point où AH = o. Or, on a

N'=^[H.|e»sin^H'4-i.|e*sin*H'-|-etc. . . .];

et si Ton fait attention qu'au point où H'= H , on a N'= N , les coefficients différentiels, pris dans cette hypothèse , seront

l^H') =^^^sinHcosH4--. 3e*sin'HcosH. . . L (^'^=^pcos^H--e^sin^H-t-|e*sin»Hcos^H--|e*sin*H...l.

Mais à cause de e^ = aa — a^, a étant le rapport de l'aplatissement de la Terre au demi grand axe , il s'ensuit que e^ est de l'ordre de cet aplatissement, comme nous l'avons déjà fait observer (art. 70). Si donc AH est de cet ordre, et qu'on rejette les termes supérieurs au troisième ordre , on aura

(/i) N'-N=iae^sinaH.(n-fe^siu^H)AHH-|^e^cosaH.AHS

ou , en se bornant au terme du second ordre , ainsi que cela est souvent permis dans la pratique ,

{n') N'- N = iae^ AH sin aH.

Il est à remarquer que quand H' < H , la différence AH est négative; ainsi, pour avoir égard à cette circonstance, il faudrait, dans la série (/t), changer le signe des termes où AH est affectée d'une puissance impaire.

190. Voici encore quelques conséquences de la théorie précédente. La série donnée (art. 179) pouvant s'écrire ainsi

— n r ^ ^ ^ sin aH j^ ^ sin4H "|

lorsque Q désigne le quart du méridien; on a , en fonction de Taplatissement et en s'arrétant aux termes^ du second ordre,

^fH /3 3 .XsinaH . i5 ,8in4H 1

par conséquent un arc de méridien quelconque y compris entre les latitudes H y U'j est exprimé par

+ i|^* sin 2 (H ^ H') COS2 (H + H')].

Pour un arc D d'un degré , on fera H — H'= i® ; et si Ton part de cette hypothèse que Q = looooooo" et a = OyOo3a4 , que de plus H > H' ; on aura

D = iiiiii"^,iii— 54o"',848cos(H + H') + i",o97Cosa(HH-H'),

tandis que pour un arc G d'un grade , on aura

G = 100000°* — 486'»,763 cos (H + H') + o'°,987 cos a (H + H').

Un arc B de parallèle y dont la latitude est ij; et l'amplitude exprimée en degrés est U , a généralement pour expression

" ~" 36o<» ~ l8?^^ , , . ...i.» ■^-aUcoSij/ i4--e^sin*tj;4-ge*sin*tj;. . . L

et en série

ou en fonction de l'aplatissement

B = -^aUcosij/ i-+--(aa — a*)sin'ïj^-|--a'sin*ij/. . . ; ainsi y en faisant U = i^, on aura la longueur d'un degré de longitude

à la latitude |; ou bien en remplaçant 1 80^ par aoo^ et faisant de même U = i^, on aura le grade de longitude.

La table V, extraite de la Base du système métrique décimal ^ donne les valeurs des arcs de méridien et de parallèles j en supposant que Tellipsoide terrestre a les dimensions ci-dessus énoncées.

191 . La recherche des dimensions de l'ellipsoïde osculateur de révolution à la surface de la Terre , en un point dont la latitude est ^ , exige qu'on ait recours à ses deux lignes de courbure qui sont le mé* ridien et le parallèle en ce point , parce qu'elles offrent deux équations distinctes entre le demi grand axe et le carré de l'excentricité , deux principales quantités à déterminer. En effet , l'arc A de méridien a, d'après ce qui précède , la forme

dans laquelle

^ I i35 sînfCos4»

rp ^ i ^^5 smfoos4» 3 i36 sinsfcosa^

4 w ff 4 '^ 9

ainsi qu'on s'en assurera en ordonnant la série (M') de l'art. 1 77 suivant les puissances de l'excentricité.

L'arc B de parallèle donne lieu à une série de même forme , en faisant i = B;„, et g^ = a:; puisqu'on a

^ =A:=:;g[i-RV-TV...],

Ucos>|«

lorsqu'on fait

R'=-^siii»tj;, T'= — |sin*t|;.

Telles sont les valeurs analytiques de A„ et A^ qu'il s'agit de combiner entre elles pour en obtenir celle de e*. Or, en les divisant l'une par l'autre, on a sur-le-champ

A„,R — AmR

et appelant e* la valeur approchée de e', qui résulte d'abord de la suppression du terme en e*, il vient , par une seconde approximation,

A/« — Agi k Am 1 — A« 1

Mais, vu que le premier terme peut toujours suffire , on a définitivement

fi i35 sinocoson , ^ , . , i >

B« 7 + — . — -hiA«cos^^8m>+

et même assez approximativement

^(B«— A«cos^|;)

B«(i — |.siIl»^*)-^■^A«cos^^sm»^^

expression dans laquelle ^0 =|(m- H'), et qui provient des valeurs de A;„ et de B;,^ réduites au même degré d'approximation. Nous ferons, par la suite, une application numérique de cette formule.

UYRE TROISIÈME. 347