DES OBJETS TERRESTRES

192. Tous les sommets des triangles d'un réseau sont tellement liés entre eux , que si la position géographique de Tun d'eux était connue , c'est-à-dire sa latitude et sa longitude , et que la ligne géodésique qui joint ce sommet à un autre du réseau fût orientée, la position géographique de tous les points de ce réseau et les azimuts des côtés seraient également connus Le problème à résoudre en ce moment est donc celuici : La latitude et la longitude du point M ( fig. 4o) étant données, ainsi que l'azimut du point M' sur l'horizon de M, trouver tant la latitude et la longitude de ce second point, que l'azimut de M sur l'horizon de M'.

Avant que les méthodes géodésiques eussent été portées au degré de perfection où elles se trouvent maintenant, les géographes résolvaient cette question par la Trigonométrie sphérique seulement , en prenant pour rayon de la Terre celui qui résulte du degré moyen dans la région du réseau. On conçoit en effet que si, par les points M, M', on mène les méridiens PM, PM', le point P sera le pôle de la Terre, et que dans le triangle sphérique MM'P l'on connaîtra l'angle M'MP ou l'azimut de M', ainsi que deux côtés, savoir : MM' ou un côté du réseau évalué en secondes (art. 150), et PM ou le complément de la latitude de M. On pourrait donc, par les Analogies de Néper, déterminer l'angle MM'P, ou l'azimut du point M sur l'horizon de M', l'angle P ou la différence des méridiens, enfin le côtéM'P ou le complément de la latitude de M'; mais par ce moyen, l'on n'obtiendrait pas la latitude particulièrement avec assez de précision. Voici une autre méthode qui est de beaucoup préférable.

PRSMliEE SOLUTION.

195. L'hypothèse de la sphéricité de la Terre ne pouvant manquer de simplifier la question , considérons une sphère du rayon égal à la normale MN au point M donné sur la Terre elliptique , et les arcs de grand cercle/?M, pM' comme les méridiens de M et de M' sur la sphère fictive ; puis calculons la position géographique du point M', en résolvant le triangle sphérique pMMfy non par les formules finies de Fart. 78, lesquelles ne donneraient pas assez de précision dans la pratique, à cause de la petitesse de la ligne géodésique MM', mais par les séries de l'art. 98, qui ont une exactitude indéfinie. Ensuite, nous examinerons l'erreur qui résulte de notre supposition.

Soient à cet effet H la latitude du point M; H' celle du point M' ; P, P ' les longitudes de ces mêmes points, ou les angles MPa, WPa] enfin V, V les inclinaisons de la ligne géodésique MM' = R, ou de son prolongement sur les méridiens respectifs pM, pM'. On aura, en transportant cette notation dans le triangle sphérique ABC , résolu à l'art. 98 , et en désignant par u le côté K réduit en parties du rayon ,

a=ioo»— H', A=V,

A = ioo»— H , B = aoo« — V,

Telles seraient les valeurs à introduire dans les séries (III), (I), (II) ; mais on est convenu, dans la pratique, de compter les azimuts et les longitudes, les azimuts surtout, du sud à Touest, et depuis o^ jusqu'à 4oo«. Soient alors Z l'azimut de M' sur l'horizon de M, et Z' l'azimut de M sur l'horizon de M', l'un et l'autre étant comptés à par; tir du sud; on aura, d'après la^g. 40) ' • ^ ^*^

V = aoo — Z, V'=4oo — Z'; ^

et les séries citées se changeront respectivement en ces trois autres , {a) H'=H — McosZ — Iw^sini^sin^ZtangH, {b) P'=P+'^-^iE.«sini''sinaZ.Î^, ^

^ ' cosH * cosH '

{c) Z'=aoo«-i-Z— MsinZtangH4-|w^sini"sinaZ(i+atang'H), en supposant d'ailleurs l'arc u réduit en secondes (art. 91).

Il ne serait pas difficile de prouver en outre que

Z' = 200«4-Z-MsinZtang^(H4-H') + ^tt»sini^sinZcpsZtangm;

mais cette formule ne serait guère plus simple à évaluer que la précé dente , à moins qu'on ne jugeât inutile de tenir compte du troisième terme , dans un calcul provisoire.

La première formule (a) , bornée aux termes du second ordre , s'obtient encore plus simplement ainsi qu'il suit.

D'abord dans le triangle sphérique pMM' supposé obtusangle, on a cette relation

sinH' = sinHcosi/ — cos H sin u cos Z y'

et comme la latitude H' ne diffère de H que d'une petite quantité , soit alors H' = H + ar ; on aura

sin (Hh- a:) = sinHcos^^ — cosHsini^cosZ.

X* . , tt*

D'un autre côté, àcause de cos jc= i . ... et de cos m = i . .,

il viendra , après les développements nécessaires ,

ar = — M cosZ — \ ir tangH + \x^ tang H ;

ainsi, par une première approximation , ^= — z/cosZ. Mettant alors cette valeur dans le second membre , on aura plus exactement

x= — M cosZ — I a' sin*Z tang H ,

et enfin la valeur de H'=H+a: sera telle que l'indique la formule (a). Toutefois cette latitude H' appliquée au point M' sur le sphéroïde terrestre, serait un peu fautive, car la véritable latitude de ce point est l'angle M'N'Q' que la normale M'N' sur l'ellipsoïde de révolution fait avec le plan de l'équateur dont la trace , sur le méridien P£ , est la droite CE ; tandis que la latitude déterminée par la formule {a) est représentée par l'angle que l'oblique M'N fait avecNQ; N'Q' et NQ étant supposés deux pians parallèles à CE. La correction de lati-

35o TRAITÉ DE GÉODÉSIE. .

tilde, que nous désignerons par ^|^, est donc l'angle NM'N', puisque dans le triangle N'M'R l'angle extérieur M'RQ' = H' vaut la somme des deux intérieurs opposés NM'N', M'N'Q', de sorte que

. , NN'.ftinPN'M'

si«^ = wjv •

Mais avant de rechercher la valeur exacte de cet angle, nous ferons remarquer que quand la ligne géodésique K est au plus d'un demidegré, son amplitude H' — H = dH sur la sphère devient AH sur l'ellipsoïde, et que ces deux amplitudes d'arcs de même longueur étant entre elle^ réciproquement comme leurs rayons de courbure N, p fart. 170) , on a cette proportion

AH :ûîH::N : p :: i : '7^\„,

^ I — e * sin * H '

d'où l'on tire à très-peu près

AH = rfH(i-He* cos^H), et par conséquent ^ = dlle^ cos^H; donc enfin la latitude H' corrigée est

(a' H' = H — (wcosZH-iw*sini''sin^ZtangH)(n-e^cos^H), et l'on a en secondes

__ K(i — e^sin'H)"^ K a 8in i N sin 1

Les formules lè), (c) ne sont pas non plus celles dont on fait communément usage, parce que quand la latitude H' est connue sur le sphéroïde, on s'en sert pour déterminer P' et Z'; mais il faut, dans ce cas, introduire H' dans les valeurs de ces deux inconnues : or, c'est à quoi l'on parviendra tout d'abord ; car d'une part, le triangle sphérique /?MM' donnant

sin(P'-P) = ?^^-^,

^ ^ cosH

on a , à cause de la petitese de u ,

usinZ cos H

Ib'j P' = P + r7r^r,

d'autre part , dans le même triangle , l'on a , en vertu de l'art. 78 ,

tangi(M + M') = coti(P'-P)^^|[5^;

et puisque cot = , on peut écrire

coti(M + M') = tangi(P'-P)^i^|±^^

= tang[i'-i(MVM;)];

mais i' — "KM + M') et P' — P étant toujours des angles très-petits, on a simplement, à cause de M + M' = Z' — Z ,

Il est évident que ces formules n'éprouveraient aucun changement dans les signes de leurs termes , si l'on voulait compter les azimuts et les longitudes du sud à l'est; et que si l'on s'en tenait seulement à la convention reçue pour les azimuts , il faudrait affecter du signe positif les longitudes occidentales, et du signe négatif les longitudes orientales.

194. Nous avons fait tout à l'heure, à la formule de latitude, la correction dépendante de l'excentricité des méridiens terrestres. Quant aux formules de longitude et d'azimut , désignées par {b') et (c'), elles s'emploient sans modification , parce que l'aberration de sphéricité n'a sur elles aucune influence sensible. On voit en effet, que l'angle MpM' des deux méridiens sphériques est le même que celui des deux méridiens elliptiques PM , PM'. Mais de combien l'azimut pM'M, sur la Terre sphérique, c'est-à-dire l'angle des deux plans pM'N, MM'Nj dififère-t'il de l'azimut PM'M, sur la Terre elliptique, c'est-à-dire de l'angle dièdre PN'M'M? C'est ce qu'il faut chercher.

Si l'on considère le point M' (^g. 4ï) comme le centre d'une sphère, sa surface sera coupée par les trois plans MM'N, N'M'N, MM'N', suivant le triangle sphérique aN/7^ : or, dans ce triangle, on connaît l'angle aN/it : c'est l'azimut calculé. On connaît en outre Tare Nm ou l'angle

N'M'N = ^j qui est la correction de latitude; et à cause de l'angle MNM' = w, on a, en considérant le triangle MM'N comme isoscèle,

arc àH = i*^ ; donc si § désigne la correction d'azimut , et z<

l'azimut vrai compté du nord , on aura Z| — § = aJSm = azimut approché z' compté de même. Il résulte de là que dans le triangle sphérique aT^rriy on connaît deux côtés et l'angle compris, et qu'il s'agit de déterminer l'angle ou l'azimut vrai m'am = z<. Or, N/n = ^ étant très-petit, la solution de ce problème se trouve dans la formule (c) ci-dessus. On a donc, à cause de niNa = s' compté du nord,

z-i = z' -t- t|; sin js' tang -

d'ailleurs (j> = e* AH cos^ H =r e^u cos Z cos^ H; il en résulte

z^= z' + e^2^sin z'cosZcos^H tang-;

OU enfin , parce que u est un très petit arc , et que Z et z' diffèrent peu l'un de l'autre ,

z^ = z' H- j e^tt sin 2Z cos^ H tang u. Lai correction d'azimut , représentée par le terme

\ e^ u tang u sin aZ cos^ H , et qui se trouve du troisième ordre, peut donc toujours se négliger.