sinP(„) = 8.94o3o
log^Z = i.2oio3
Ainsi l'erreur sur la latitude géodésique de l'extrémité de la chaîne serait au plus de i" de degré.
Enfin la longueur du parallèle mesuré n'éprouverait de même aucune correction sensible , la latitude de départ ne fut-elle connue qu'à trois ou quatre secondes près.
205. Cherchons en outre la variation d'un azimut quelconque pris sur l'horizon du point à rectifier et déduit du premier.
Soient toujours 6,6', les deux côtés constants, et A l'angle variable du triangle sphérique ABC ; dk la variation de l'azimut de départ, et rfB celle de l'azimut au point B : on parviendra à trouver le rapport de dk à ^B, en difFérentiant l'équation
cos b = cosa cos c + sin a sin c cosB;
opération qui donne d'abord , après avpir mis à la place de sin c cos B, sa valeur déduite de cette même équation ,
, /cos c — cos a cos ^\ . . • t» lrk
^ / . | «( smasmcsmBaB = 0;
\ sin a I
puis réduisant, on a
da cosC + ^B sina sinC = o.
Mais da = dk sin 6 sinC; par conséquent
sin^cosC
rfB = - £/A
sina
Soient donc Z l'azimut pris du point A et compté du sud à l'ouest, Tl un de ceux qui ont été conclus de celui-ci et qui se trouvent sur l'horizon de B ; on aura, en vertu de cette formule , et désignant d'ailleurs par H, H' les latitudes de ces deux points , par P' leur différence en longitude,
dV^'^t^^^dZ,
cosH '
parce que Z et TJ croissent ou décroissent en même temps. Ainsi, sans repasser par tous les azimuts intermédiaires , on assignera siir-le-<;hamp
la correction à faire à un azimut quelconque , par suite d'un très^petit changement survenu dans celui dé départ.
Si l'on différencie dans la même hypothèse Téquation
sin & sin C = sin B sin c , on aura
£/C sin6 cosC = d& cosB sin c, d'où
j« jry sin h cos C cos B sin c '
égalant cette valeur à la précédente , on trouve
£/G sine cos B
dk sin a '
enfin , posant
c = K , A = aoo" — Z , B = Z' — 2ioo% on a
Telle est la relation entre la variation d'azimut de départ et celle de longitude du point que l'on considère.
206. Examinons maintenant le cas où la latitude et la longitude du lieu principal d'une carte éprouvent une petite correction , et cherchons l'influence de ces deux corrections sur les positions géographiques de tous les autres points du réseau.
D'abord il est évident que si la longitude absolue y du lieu principal A augmentait d'ime quantité quelconque rs^ les longitudes de tous les autres points du réseau , et comptées toujours dans le même sens , augmenteraient de la même quantité. Il reste donc à faire connaître le moyen de corriger tant les latitudes et les longitudes de ces mêmes points , que les azimuts conclus, lorsqu'il existe seulement une petite variation dans la latitude du point A.
Pour cet effet, l'on regardera c, A comme constants dans le triangle ABC, et, à cause de la relation
sin A sin c = sin a sin C,
4oo TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
il viendra, en différentiant.
da= — de
tanga
tangC
Opérant de même sur l'équation
cosa = cos^cosc + sin 6 sin c^ cos A , on aura d'abord
sinada = dh (sin6 cosc — cosb sine cosA),
et comme le facteur du second membre = sina cosC (art. 64), on aura ensuite
(i) da = dbcosC'^
valeur qui , étant égalée à la précédente , donnera
(a) de = — db siaC cota.*
L'équation
cos b = cosa cosc + sin a sin c cos B,
traitée de la même manière , devient en premier lieu
db sinb =^ da sinb cosC + sina sincsinB^B,
et à cause de sine sin B = sinC sinb , on a
db = da cosC 4- sina sin CrfB ;
remplaçant da par sa valeur db cos C , on a enfin , après réduction faite ,
(3) dB = db ^.
Maintenant, si l'on introduit dans les trois équatioMs différentielles les notations géodésiques déjà admises , on aura généralement
è=ioo« — H, a=ioo« — H', C = P', rfB=: — rfZ',
et de ce que H, H', P' croissent en même temps que TJ diminue, les trois équations citées donneront respectivement,
Variation en latitude, dVL' = ^HcosP',
en longitude, rfP' = JH sinP' tangH',
ânP'
en azimut, dV = — JH
cosH
De sorte que
la latitude exacte du point B sera H' + ^/H',
sa longitude absolue et rectifiée y + zy + P'4-rfP',
et un azimut quelconque sur Thorizon de ce
point, de Z' qu'il était, deviendra Z' + rfZ'.
Si , dans le triangle ABC , dont nous examinons les variations , le côté b et l'angle A sont considérés comme constants, il suffît, pour obtenir les équations di£Férentielles relatives à ce cas , de changer dans celles (i), (3), (2] précédentes, les h en c et les c en b\ on a donc immédiatement
da ^=- de cosB,
srn a^
dB = — ûfc sinB cot^.
Or en faisant c = K , B = Z' — 200*, et remarquant que H' et Z' diminuent quand le côté K augmente (l'azimut Z au point A étant toujours supposé aigu) ; ces variations seront
rfH' = rfK cosZ',
d2'= - £/K sin Z' tangH',
et résoudront le problème où il s'agit de corriger les positions géographiques des sommets des triangles, en vertu d'un changement survenu dans lalignegéodésique de départ. Éclaircissons ce sujet par un exemple. I. 5i
4oa TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Application numérique.
Le canevas trigonométrique de la nouvelle carte de France offre une belle chaîne de triangles, qui s'étend depuis la station de Bourges jusqu'à celle de l'île de Noirmoutier , et qui fait partie du parallèle mesuré par M. le colonel Corabœuf ; des calculs définitifs efiFectués par cet ancien ingénieur-géographe , l'ont conduit à reconnaître que toutes les positions géographiques de ce parallèle , calculées provisoirement au Dépôt de la Guerre , devaient être corrigées de quelques secondes ,
.. parce qi?il trouva sur la ppsition de Bourgips les petites discordances
. suivantes: t '*
Par les calculs provisoires, latitude de Bourges. H = 5a" 3i45",59 Par les calculs définitifs Sa .3i44 9^6
Variation dR = — i ,23
Quant à la longitude orientale de cette station , elle fut trouvée dans les deux cas de P = — o*o688*,89 ;
mais l'azimut du côté Bourges-Dim-le-Boi^ servant à l'orientation des triangles du parallèle , fut trouvé
provisoirement de Z = 365"7634%4o
et définitivement de 365. 7615 ,oo
en sorte que la variation dZ ^=^ — 19940
Il fut reconnu en outre, que le logarithme d'une distance quelconque, évaluée provisoirement en mètres , devait être augmenté de 0.0000674. [Description géométrique de la France^ tome I, page 269.)
Maintenant , pour obtenir à />norî les corrections à faire à la latitude H' et à la longitude P' d'un point quelconque du parallèle dont il s'agit, ainsi qu'à l'azimut Z' sur l'horizon de ce point, par exemple, à la position géographique de Noirmoutier dont les calculs provisoires avaient donné
latitude de Noirmoutier H' = 52*2734*964
longitude ouest de Noirmoutier. P' = + 5 .0868 ,33;
on cherchera , par le procédé de l'art. 199 , la distance K de ce point à Bourges , et l'angle 6 que cette distance fait avec le méridien de Noirmoutier ; et l'on trouvera
log K = 5.5476707, d'où K = 35291 5",4 ; ou bien en grades, K = S^Saga".
Déplus, Q =96*4758'', compté du nord à l'est.
Ajoutant ensuite à log K le log constant 0.0000674^ on obtiendra log K, = 5.5477381, d'où K, =352970™,2. Partant, la variation de f oiiL — S =e/i = 54'",8 , /fC^ 1^ ^ IC "^ ^^
et en secondes de grade, «T = 5*, 48, / ^^
On aura en outre, pour l'angle C ou 9 des deux méridiens de Bourges et de Noirmoutier,
Avec ces données fondamentales on évaluera très-facilement les trois corrections suivantes , qui dérivent des équations différentielles démontrées précédemment (art. 204 et 205), en y changeant P^ en 9 et Z' en 200'' -H 0, savoir :
Correction de latitude ,
dB! = sin 9 cos H rfZ 4- cos 9 dB — cos9 dY^ ; correction de longitude ,
j^, cosOsinR 1/7 . . . tj/ ^/rr . si^O j^
aP' = 57--"Z 4- smçtangH'oHH =7 rfK;
cos H' T o cog H' ?
correction d'azimut ,
COS H' cos H' , ^
En effet , en opérant avec les logarithmes à cinq décimales, on trouve
rfH' = - i%o68 - i%226 — o%3o3 = - :2%597; rfP' = — o ,009 — I ,3i6 -H 8 ,022 =4-6 ,697; aZ' = — 19 ,3o5 4- o ,146 — 5 ,867 = — 25 ,026.
4o4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Mais par les calculs provisoires on a eu
Latitude de Noirmoutier H' = Sa** a a 34' 7 64
Correction dBf = — a ,60
Latitude corrigée Sa .aaSa ,o4
Longitude de Noirmoutier. ... F = 4- 5* 0868 ,33 Correction dV = -+- 6 ,70
Longitude corrigée 5 .0876 ,o3
Enfin , azimut provisoire de Bouin
sur l'horizon de Noirmoutier. . Z' =: Sog"* 6665 ,0
Correction dZ' = — a5 ,0
Azimut. 309 .6640 ,0
Il est évident que si la longitude P , du point de départ ou de Bourges, eût varié de ^P, il aurait fallu ajouter algébriquement cette petite quantité à toutes les autres longitudes calculées provisoirement.
Passons à une autre question non moins importante en Géodésie.
Moyens désHiluerj aussi exactement que possible, la longueur dune ligne géodésiquey et celle de ses différentes parties, à l'aide dun réseau de triangles appuyé sur deux hases qui présentent entre elles une petite discordance.
P&BXliRE SOLUTION.
207. La solution que l'auteur de la Mécanique céleste a donnée à ce sujet dans le troisième Supplément à sa Théorie analytique des Probabilités, est, sans contredit, la plus rigoureuse et la plus savante que l'on pût imaginer. Avant d'en donner une idée, en voici une autre , toute fondée sur des considérations élémentaires, et qui , sans avoir à beaucoup près le même mérite , nous parsut cependant d'une exactitude suffisante, parce que dans les bonnes triangulations la discordance des bases est ordinairement très-petite.
On en acquerra la preuve par la comparaison que nous avons faite des sept bases mesurées en France , et liées à l'immense réseau, trigonométrique des ingénieurs-géographes [Nous^elle Description géomé-^ rique, t. I, p. 470* P^ir exemple, en concluant la base de Perpignan
de celle de Melun , au moyen de la meilleure chaîne de triangles qui les unit, on trouve i^ySo. de plus par le calcul que par la mesure effective, c'est-à-dire -^^32 d'erreur sur un côté de 1 1706^,4 (art. 110), tandis que, d'après les triangles de Delambre, cette erreur ne serait que de o™,33. Néanmoins la Commission générale des nouveaux poids et mesures, s'appuyant sur les données mêmes de Delambre et deMéchain, calcula la partie du méridien comprise entre Evaux et Barcelone sur la base de Perpignan, et Tautre partie du méridien comprise entre Dunkerque et Evaux sur la base de Melun ; ou, ce qui revient au même,
elle ajouta à la longueur B de Tare mesuré la correction | B-r^.? s^"^ désignant Texcès de la base mesurée sur la base af^^ calculée. Par ce procédé, on laissa bien les bases intactes, ainsi que les angles des triangles des astronomes français, mais on troubla un peu Tharmonie des azimuts vers le milieu de cet arc , et de plus on donna nécessairement deux valeurs différentes au côté du triangle correspondant à ce point. Delambre , dans le but de tout concilier et de faire disparaître la trèspetite différence de o™,33 ci-dessus mentionnée, prit le parti d'altérer imperceptiblement les angles des triangles , attendu que leurs valeurs sont en général moins sûres que celles des bases mesurées. Par exemple, il reconnut, après quelques essais , qu'iUsuffisait dans chaque triangle de diminuer de o%i Fangle opposé à 1^ base, et d'augmenter chacun des deux autres de o'',o5. Il n'eut pas même besoin défaire partout cette faible correction , qu'il modifia arbitrairement dans le dours de ses calculs, pour établir entre les deux bases un parfait accord. Le moyen d'éviter de se livrer à de pareils essais et à des tâtonnements fastidieux , est d'adopter la règle suivante, qui est aussi simple que commode.
En représentant par a la base du premier triangle d'un réseau ; par A l'angle opposé, et corrigé, conformément au théorème de Legendre, du tiers de l'excès des trois angles observés sur deux angles droits ; par a' le côté commun à ce triangle et au second ; par B l'angle adjacent à la base a, opposé à a', et corrigé également du tiers de l'excès dont il s'agit ; on aura
, a sin B
4o6 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Si Ton nomme de même A' Tangle opposé à la base al du second triangle, B' l'angle adjacent à cette base et opposé au côté à' cherché ; on aura pareillement
ji
sinA'
En général, si n désigne le nombre des triangles d'un réseau continu, et ^^"^ le dernier côté cherché, on aura
/ON („ j a sin B sin B'sin B" . . . . sin Bv"" ' )
^ ^ sin A sin A' sinA'^ ... sin A(""' ^
Lorsque ce dernier côté a^"^, déduit de la base observée, diffère de sa mesure effective a, et que
la différence e^"^ est la résultante des erreurs que les angles A, A', ... , B, fi', . . . , ont produites sur les côtés calculés d^ à\ . . •
On pourrait bien faire disparaître cette différence en altérant sim< plement les angles d'un seul triangleMe la chaîne ; mais, pour être autorisé à cela , il faudrait que ces angles eussent été observés dans des circonstances atmosphériques très-défavorables. Dans le cas, au contraire, où tous les angles qui entrent dans l'expression de a^"^ méritent à trèspeu près une égale confiance , il paraît naturel de les faire concourir tous à la disparition de £^"^, et de leur appliquer en conséquence la même correction. Supposant donc que les angles A, A', • . . soient chacun diminués de x^ et les angles B, B', augmentés de la même
quantité, on aui*a exactement
a = «^"^ + t^"^ = ^»^"(B -^ x)sin(B'-^- ar)...8in(B(*'') H- x)
sin (A — x) sin (A' — x) ... sin(A("-0 — x)*
Prenant le logarithme de chaque membre, développant en série et réduisant au moyen de l'équation (3), on aura, en s' arrêtant à la pre-
mière puissance de £^"^ et de Xj ce qui est toujours suffisant,
, .V e^ __ r cotA -h cotA' H- ... cot A^"-') "j .^^
En allant donc de la première à la seconde base, Téquation (4) donnera la correction x, qui sera positive ou négative selon que e^"^ sera un excès ou un déficit. Si l'on veut ensuite corriger un des côtés intermédiaires, par exemple le cinquième, il suffira de faire l'indice /2=5 dans cette même équation , c'est-à-dire de s'arrêter au cinquième triangle de la chaîne. En général , lorsque l'on connaîtra la correction €^*^ du côté a^'*^ on aura
log^^*^ corrigé = loga^"^ -h M -ç^^ ,
M = 0,434^9 étant le module tabulaire. Ce procédé donne lieu à des applications numériques si simples, qu'il nous paraît inutile d'entrer à cet égard dans déplus amples détails.
Dans le calcul du développement d'une ligne de plus courte distance , ou d'un arc de parallèle qui traverse un réseau trigonométrique, les portions de cette ligne sont comprises entre des arcs de grands cer-
(*) Plus généralement , pour accorder les deux bases , soient x^y^ s , les corrections à faire aux angles A, B, G du premier triangle; x'^ y\ z' y celles à faire aux angles du second triangle, et ainsi de suite jusqu^au /t^'** triangle ; on aura
^^j flsin(B-hr)sin(B^-hy)«>" sin[B(""'^ -hr^""'^] "*"* "~ sin(A-+-aj)sin(A'-h^') sin[A(»-') -hx(«-0] '
et par suite
t(«) (5) -j;^ = xcotB-f-/'cotB' -f-jC-OcotBC^O
— «cotA— j:'cotA' — jr(»"')cotA(""');
et l'on aura en outre
puisque la somme des trois angles d*an triangle doit foire exactement deux angles droits plus Pexcès sphérique.
4o8 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
clés menés par les extrémités des côtés a^ a% a'% . . ., a^^K Soient donc J, J', J",. . ., J^"^ ces portions consécutives d'une même ligne, il est évident que la correction de l'une de ces portions sera généralement , d'après notre hypothèse ,
(6) ây^ = *^.
Ainsi lorsque les bases aux extrémités d'une ligne géodésique présenteront entre elles une petite discordance j on calculera séparément &yj &r,.. .y J^"\ et la somme de toutes ces corrections sera celle de la ligne entière. Ce mode de correction est donc applicable à une partie quelconque de la ligne mesurée.
Si les triangles du réseau étaient tellement bien conditionnés , qu'ils eussent à peu près la forme équilatérale , il serait assez exact de supposer que le facteur qui multiplie x dans le second membre de l'équation (4) se réduit à %n cot 60^ : donc en exprimant x en secondes de degré, on aurait
(7) -çjj = ce (an cot 60®) sin i'\
Dans cette formule y tout est connu y excepté x; ainsi
^^J ^ — aiiaC»)8ini'''
Une chaîne de 53 triangles lie les bases de Melun et de Perpignan , et l'excès e^'^ de celle-ci sur sa longueur déduite de la première base , s'est trouvé de o™,33 environ , selon Del ambre; l'une et l'autre base sont à peu près de i aooo mètres ; ainsi, en supposant tous les triangles
équilatères ,
0,33 tang 60^ . ^
D'où l'on voit qu'en diminuant les angles A, A% . . • et augmentant les angles B, B',. - • chacun de o*',o7, on atténuerait sensiblement l'excès de la base mesurée sur la base calculée. C'est à peu près à cela que se réduit la correction faite par Delambre. (Base du Système métrique, tome II, page 704.)
Au lieu de nous arrêter ainsi à des cas particuliers , envisageons la question sous le point de vue le plus général , et pour cet effet remarquons que, puisque les triangles sont jugés d'autant meilleurs que l'erreur T de la somme des trois angles de chacun sur deux angles droits , plus l'excès sphérique, est plus petite, c'est se rapprocher de la doctrine des probabilités que de supposer les corrections xj^ j^y ,. . ., considérées dans la note précédente , proportionnelles aux erreursT,T',... de ces triangles , abstraction faite des signes de ces erreurs. D'ailleurs Laplace a prouvé que la manière la plus avantageuse de répartir les erreurs T, T',..., dans chaque triangle, est de les distribuer par tiers sur chacun des angles. Faisant donc
la formule (5) se changera en celle-ci :
,^,v '^"^ i r— TcotA — T'cot A' — "j
dans laquelle q sera une constante facile à déterminer, puisqu'elle est seule inconnue.
Maintenant si BM (^g. 2, PL IX) est une ligne méridienne mesurée parle réseau trigonométrique BCKM, et que Z, Z', Z",..., Z^"^ soient les azimuts des côtés a, a', a",..., a^"^ comptés du sud à l'ouest, on trouvera sans peine, en supposant les méridiens parallèles dans la zone étroite qu'occupent les triangles , et considérant les angles sphériques,
- ^ - jrS
TJ' = i8o*> + Z — C -4- a — C
+ JP + J— ^— y
+ jc" + r ,
et ainsi de suite. Partant , les corrections des angles azimutaux seront 1. 5^
4io TRAITÉ DE GÉODÉSIE,
successiveoient
- af - f, ^ 3f ->r r.
<?ZW= X — xf -Jit- x" — x''...±. a:<*-' + 7 - y + 7" - f' . .=t y-";
et la formule (6) que nous avions trouvée dans l'hypothèse de èZ' =■ <?Z" = .... = o, devra être remplacée par la suivante:
(6') iw = S^- t»°g z'"^ • <^z« ,
qui fera connaître la correction d'une partie J^"^ quelconque de la ligne méridienne mesurée , et , par suite, de la totalité de cette ligne ; et qui dérive de la différentielle de J^"^ = — a^"^ cosZ^"^ S'il s'agissait au contraire d'un arc de parallèle [Jîg. 37, tomeir, on aurait, en conservant la même notation ,
La formule (5') rentrerait naturellement dans celle (4) si tous les triangles étaient équilatéraux, ou si toutes les erreurs T, T', . . . étaient nulles ; mais ces deux cas n'ont jamais lieu dans la pratique. On voit que par ce dernier système de correction , les angles des triangles , dans lesquels T= o, restent intacts.
Il est évident que , pour se conformer au principe de l'homogénéité , le premier membre de l'équation (5') doit être divisé par sin i\ et que la valeur de (?Z^"^ dans l'équation (6') doit être multipliée par sin i".
Vu la simplicité de ce procédé et de celui qui précède , il serait utile d'en légitimer l'emploi en les soumettant à l'angJyse des probabilités. Mais voici en peu de mots comment Laplace applique cette analyse à la question qui nous occupe en ce moment*
DEUXXilCB 80LUTI0IT.
Si l'on met l'équation (5) de la note de la page 407 sous cette forme, -— = te + m;^ + Z'a:' + my + etc.,
auquel cas
/ = — cot A, /' = — cot A', etc., cot B, m' = cotB', etc.;
et que l'on fasse -j^ = y, qu'ensuite on désigne par F la fonction
/a mZ + zn* + V^ — m7' + m'*+ etc. ,
la probabilité d'une erreur ±: y dans la seconde base déduite de la première j est , selon Laplace , et lorsque c exprime la base des logarithmes népériens ,
l'intégrale étant prise depuis r nul jusqu'à r:=-^ y'^ , limite dans
laquelle 6^ exprime la somme des carrés des erreurs des trois angles des n triangles qui unissent les deux bases.
Quant à l'erreur moyenne de y, dont la probabilité est \ , son expression est
V = iesin,"y^, et les limites entre lesquelles elle est comprise sont
en faisant r = 3 ; car il y aurait cinquante mille à parier contre un qu'elle ne les atteint pas.
Maintenant, si l'on fait une somme s de toutes les valeurs de -j^,
données par l'équation (6') précédente, elle aura définitivement cette forme :
^ = ^jc + çj 4- p'x' + q' y -+• etc. ; alors, en appelant Q la fonction
p^-pq + q^+p'''-p'q'+ ?''-»- etc. ,
4i2 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
la probabilité que l'erreur de la mesure de la ligne géodésique , par une seule base^ est comprise entre les limites dt Sy est; comme ci-dessus,
3 s /fi
en prenant l'intégrale depuis rnul jusqu'à '' = ~^ V/ô? et l'expression
de l'erreur moyenne est également 1 0 sin i" i/ - > tandis que sa limite
est sextuple.
La mesure directe d'une seconde base a^"^ mettant en évidence l'erreur y, il importe 9 pour faire disparaître cette discordance des deux bases y de corriger de la manière la plus avantageuse tous les angles et tous les côtés 4u réseau : or Laplace prouve qu'il faut , pour cela , introduire , dans la fonction s précédente ^ les corrections
^ = {1 - im)l, r = {m- i/)|,
d'où il suit que, 2 désignant une somme,
sera la quantité à ôter de l'arc BM ( Jlg. a , PL IX) calculé rigoureusement et à l'aide de la première base (art. 159) pour avoir sa longueur corrigée ; en supposant la mesure directe de la seconde base plus petite que sa longueur déduite.
Les mêmes considérations analytiques conduisent j sans di£Giculté , à l'erreur moyenne du dernier azimut Z^"^ d'une chaîne de triangles ; car à cause de
c?Z(-> = {pc + j) — {a/ +y ) + . . . dz [x^*"^^ H-^^""'^] ,
ou de c?Z^"^ = px + 517* — p'x' — q'y' + etc. ,
en feisant pi=y=i, |?'=:^'= — i, etc. ,
la valeur moyenne de (?Z^"^ , que nous désignerons par s^, sera
la somme des carrés des erreurs des trois angles des n triangles étant encore exprimée par 9^. On peut voir, au chap. VI du Discours préliminaire de la Nouvelle Description géométrique de la France, comment nous avons essayé de démontrer élémentairement ces formules de probabilité.
La valeur numérique de l'intégrale précédente s'obtiendra aisément au moyen de la Table que Kramp a donnée à la fin de sa Théorie des réfractions astronomiques et terrestres (*'). Par exemple, on y prendra immédiatement la valeur de l'intégrale
i'^dr.c-'^*; mais comme celle-ci
J^dr.c-^' = iyjn, il est clair qu'on aura
et ensuite
Ç'^dr.c-^' — ^sjn'- C'^dr.c-'^*; 4= fdr.c-^' = I - -p f'^dr.c-'"^
Pour exemple, faisons r=3; la table citée, qui a pour argument cette limite , donne
/ dr.c—^* = 0,000019577 ;
ainsi la probabilité cherchée , ou
(*) A défaut de cette Table, voyez le Traité élémentaire des Prohabilités, par M. Lacroix (5^ édition y page 334), ^^ l'intégrale en question est donnée en une série convergente.
4i4 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.
Il y a donc presque certitude que les erreurs moyennes considérées ci-dessus sont comprises entre les limites énoncées : autrement , la probabilité contraire à P étant
sItzJ r
on a P' = o^oooo!! 12091 ,
ou sensiblement P' = ■= . Il y a donc , à très-peu près , comme nous
l'avons dit, cinquante mille à parier contre un, que les erreurs moyennes n'atteignent pas les limites dont il s'agit.
N.B. Si l'on appliquait l'analyse précédente à la méridienne de France, comme l'a fait M. Damoiseau, sur l'invitation de M. Laplace, on trouverait, relativement à la partie de cette ligne mesurée par 26 triangles et comprise entre la base de Perpignan et Formentera , que son erreur moyenne probable est ± S*", i85 ; mais la mesure d'une seconde base à l'extrémité sud de l'arc , eût procuré les corrections les plus avantageuses à faire aux angles des triangles, et eût rendu en même temps cette erreur moyenne moins probable.
