ZAB = C + ABC
VBA = C + BAC; donc
ZAB + VBA = 2^ + C = D + D'. (a)
Ce résultat nous apprend que les deux distances zénithales vraies surpassent deux angles droits d'une quantité précisément égale à l'arc de grand cercle mené d'un signal à l'autre.
Enfin des équations (i) et (a) , l'on conclut
cJ^ + cJ^' + 0 + ô' = 2« -H C;
ou bien, à cause que 9 est sensiblement égal à 0% lorsque les distances zénithales diffèrent peu Tune de l'autre , et qu'elles répondent aux mêmes circonstances météorologiques , on a
Divisant tout par G , et faisant
on a enfin
0 = /i G , ou assez exactement , 0 4-6'= a/iG ;
et il résulte de l'équation .(3) que
ZAB = (^ + 0 = i^ + iG H- i(c?- &'), 7BA = (?' + 6'= 1' + |G - ll^ - &').
Le coefficient n varie souvent d'une manière très-irrégulière , et son expression théorique, que nous ferons connaître, n'est pas toujours conforme à la réalité des faits. Delambre a remarqué en France que n a environ pour valeur moyenne 0,07876 , ou simplement 0,08. Il a quelquefois trouvé par des temps brumeux o, i5, et en hiver seulement; plus communément 0,06 à 0,08 en été, et 0,08 à 0,10 en hiver. D'autres observateurs ont même trouvé o,5 par les temps de pluie. Si n était négatif, la réfi*action abaisserait les images des objets, au lieu de les élever, et produirait accidentellement le phénomène du mirage.
Il serait sans doute nécessaire, pour déterminer n avec précision, que les distances zénithales des points A et B fussent prises au même moment par deux observateurs; et il est entendu que, dans ce cas, on doit s'assurer si les deux instruments n'exigent pas qu'il soit Esiit une petite correction aux distances zénithales réciproques pour les rendre parfaitement comparables. Mais , comme il est très- difficile de recueillir des observations réciproques et simultanées à la fois , on prend à chaque station plusieurs séries dans les circonstances atmosphériques les plus favorables , par exemple vers le milieu de la journée
et par un beau temps , et alors la moyenne des résultats de ces séries (art. 118) est celle qu'on emploie , soit dans le calcul du coefficient n de la réfraction , soit pour déterminer les différences de niveau {*).
215. Dans ce qui précède , nous avons supposé que les cercles étaient placés aux sommets des signaux j et c'est ce qui a rarement lieu dans la pratique. Si, par exemple, le centre du cercle est au point a j dans l'axe du signal , la distance vraie du point B au zénith est ZaB, et sa distance apparente observée =ZciB': désignons celle-ci par A , on aura évidemment
ZAB' = ZaB' + AB'a = A + AB'a;
reste donc à déterminer l'angle AB'a^ qui est la réduction cherchée.
Soient AB' = AB = K, Aa = dhet AB'a = dA ; le triangle AB'a donnera
d/i sinA
sin dA =
Prenant l'arc pour le sinus, et réduisant en secondes, il viendra
dA = ^-. — j^. (S)
Lorsque les triangles sont calculés suivant la méthode de l'art. 155, on obtient la corde de l'angle C pour une sphère dont le rayon est la distance de l'horizon de la mer au centre de la Terre, et cette corde est plus courte que la distance aB = K. Pour évaluer l'erreur, on
{*) Un grand nombre d'observations réciproques et simultanées faites durant Pété, depuis la mer Baltique jusqu*à Berlin , serrent de base à des recherches intéressantes sur les réfractions , et constituent en même temps un des nivellements trigonométriques les plus exacts de notre époque : elles mettent en relief les continuelles variations an* gulaires auxquelles ce phénomène donne lieu dans ^tte contrée du nord. Il est cependant à regretter, théoriquement parlant, que ces observations n'aient pas été accompagnées de mesures barométriques et thermométriques contemporaines. Fby^ez l'ouvrage qui a pour titre : Nivellement zivischen swinemûnde und Berlin y etc., von J.-J. Baeyer, major im generalstabe ( 1 84o).
pourrait rendre dA fonction de la corde connue et du rayon de la Terre ( Mémoire sur la détermincuion dun arc du méridien, par Delambre, page 9a) ; mais il sera suffisant , dans tous les cas, d'employer la formule précédente, en faisant abstraction de la différence de Tare à la corde.
La réduction précédente étant appliquée aux deux distances au zénith observées , on aura , pour celles qui l'auraient été aux sommets des signaux 9
ZAB' = A + dA = (^, VBA' = A' + dA' = d'.
Bien entendu qu'il faudrait prendre dA et dA' négativement , s'il s'agissait de réduire les distances zénithales aux pieds des signaux ; et si l'on fait en sorte de mettre le cercle le plus près possible de l'axe du signal , il sera inutile d'avoir égard à la réduction à cet axe , à cause de son extrême petitesse , ainsi qu'il est aisé de s'en assurer.
Telles sont les valeurs à employer dans les formules (3) et (4) 9 pour évaluer la réfraction; mais, pour rendre cette théorie complète, indiquons les moyens de déterminer àh ou la hauteur du signal audessus de la lunette, lorsque cette hauteur ne peut être mesurée directement. '
S'il s'agit d'une flèche qui ait peu d'élévation, on mesurera le diamètre à deux hauteurs différentes, ainsi que la différence des deux hauteurs , et l'on considérera cette flèche comme la pointe d'un cône tronqué. Or, soient m, m' les diamètres inférieur et supérieur, h la distance des deux bases , x la partie du clocher qui s'élève au-dessus du diamètre supérieur m'\ on aura, ainsi qu'il est démontré dans tous les éléments de Géométrie ,
Mais lorsque la pointe de la flèche est très-élevée , une petite erreur sur la détermination des quantités 771 — 7/1' et A, pourrait en occasionner une très-grande sur la hauteur x. Alors soient B {fig* 46) la pointe de la flèche observée du point A , B' la galerie où a été placé le cercle : on mesurera les angles ZAB, ZAB', et BAB' sera la différence
des deux distances au zénith : or, le triangle ABB' donne
sinB '
mais AB' est très-peu diflFérent de aA'= K, et Tan a AB'B = eî' + ô', ZAB'=f + 0; doncB^a* — A — (d^'+ô'); donc BB' ou
,, KsinA KsinA
gin(^'-he'4-A)~sm[i*-|-4-C-t-|(*' — *)-HA] KsinA KsinA
""«in[i^ — ^C— 1(^'— *) — A]""cos[i(r--^)-l-iCH-Ay
Développant le dénominateur par la formule connue du cosinus de la somme de demt arcs , on aura
dh= ''^^''
cosf (^' — ^ -h C)cos A — sin|(^' — ^ -H C)sin A ' ou bien
d* = Ï^ÏT^??^) [» - tangA tangi(<?' - c? + C)]- ;
mais|(c?' — c?4- C) étant un très-petit angle , on peut se contenter du premier terme de la série ; donc assez exactement
__ K tang A
dh =
cosi(^'— ^-l-C)*
Delambre fit usage de cette formule pour déterminer les hauteurs des flèches d'Amiens et d'Orléans ; il observait dh de deux stations voisines 9 et prenait le milieu entre les deux résultats dont la différence était légère. Dans tous les cas semblables, il faut faire en sorte de se placer le plus près possible du point de mire , afin que la réduction à ce point soit plus sûre.
La hauteur du centre du cercle au-dessus du sol de la station est aussi un élément essentiel à recueillir dans les opérations du nivellement; en l'appelant dT, celte du signal, comptée depui» la surface du terrain jusqu'au point de mire, sera dh + dT.
Calcul de la réjmction terrestre.
216. A 17°^ au-dessous du sommet du signal A (^g. 4^)9 on a observé la distance au zénith 100^,2408 du sommet du signal B; réciproquement à 1 5™, I au-dessous de l'extrémité supérieure du signal B , une autre personne a observé au même moment la distance au zénith 99^,9259 du point A : la distance rectiligne entre les deux signaux étant de 285o4™,75 = K, on demande la valeur de la réfraction et celle de son coefficient?
Pour réduire les distances au zénith aux sommets des signaux , on fera usage de la formule (5) :, ainsi ^ par rapport au signal A, on a
àh = i7",o; A = 100*^,24^8;
et par rapport au signal B ,
àh' = i5",i; A' = 99^9259;
logdA= 1,23045
Isin A = 9,99999
c.logK = 5,54508
c. logsin I* = 5,8o388
logdA = 2,57940 = 379\67
A = ioo>, 240800 -h dA== o ,037967
Dist. réduite ) , ^ £; * , > ioo«, 278707 = 0 au sommet A ) ' / / /
logdA'= 1, 17898
Isin A' = 9,99999
c.logK = 5,54508
c. log sin I* = 5,8o388
log dA' = 2 , 52793 = 337' , i!\
^' = 99"» 9^5900 -I- dA'= o ,033724
Dist. réduite ) f^^» » •,
au sommet B ) 99 » 9^^4 —
Lorsque les distances zénithales apparentes sont réduites aux sommets des signaux , on emploie les formules (3) et (4) pour avoir la réfraction d et son coefficient n. On ne peut, à cet égard, espérer d'ar river à des résultats bien certains, que quand tous les éléments des deux formules dont il s'agit , ont été recueillis avec les attentions les plus scrupuleuses. Ce qui nuit singulièrement à la bonté des observation s et les rend très-discordantes, c'est lorsqu'elles sont fûtes dans les moments où les objets sont fortement ondulants.
Les formules citées exigent que l'on connaisse l'angle au centre C exprimé en secondes. Or, la distance K entre les deux signaux A et B = 285o4",75; et Ton a C, réduit en secondes , à l'aide de la
formule C = -^=— = =r-: — ; y la normale N étant prise pour le rayon
terrestre (art. 170). Or, en supposant les observations faites à la latitude de 45® ou 5o grades, la table IV donne logN= 6,8o53i89; partant ,
logK = 4,454917a
c. l.sini* = 5,8o388oi
c. logN = 3,1946811
log. C = 3,4534784 = 284i%o5 centésimales.
La distance AB répond donc à un arc de 2i8^4i%o5.
Voici maintenant le calcul de la i*éfraction 9 et celui de son coefficient n.
On a , par ce qui précède ,
(3) 0 = iC - ^{&+r - 200^),
et , en vertu des valeurs trouvées ci-dessus ,
c^= ioo^2787*,67 &'= 99.9596 ,a4
|((f + (^'— aoo)= — 0.1191 ,95
\C = 4-o.i4ao ,52
e = +0.0228 ,57 logô = 8,35902
c. logC = 0,54662
log/i = 8,90554 donc n = o,o8o45 = yj environ.
Ainsi , en supposant la réfraction constante , et là même aux deux sta- I. 56
tionS) on a
ô = wC := (o,o8)C.
Mais il est important de savoir si les réfractions locales aux deux extrémités d'une même trajectoire lumineuse sont réellement égales , comme on le suppose ordinairement en Géodésie , lorsque les observations de distances zénithales sont réciproques et simultanées, et que les rayons vecteurs AC = r, BC = r' de cette trajectoire {fig- 46 ) diffèrent entre eux. Or on atteindrait évidemment ce but, si Ton connaissait exactement la différence de hauteur r' — r des stations A , B , le rayon r de la Terre et l'angle G des verticales ZC , VC ; parce qu'alors en évaluant, dans le triangle ABG, les angles A, B, qui sont respectivement les suppléments des distances zénithales vraies A , A% la comparaison de ces distances avec les distances zénithales apparentes cf, i' mettrait en évidence les réfractions correspondantes Q , 0\ Voici en effet d'excellentes observations extraites de la Nouvelle Description géométrique de la France y tome II , page 669 , et qui répondent complètement à cette question.
Hauteur relative des points A , B {Jig^ 46),
savoir r'—r=^ io63°.
log. distance horizontale de ces mêmes points,
ou logK= 3.9715779
Distance zénithale de la mire B , observée de
celle de la préfecture de Clermont-Ferrand. & = 92'*8436',32
Distance zénithale de la mire A de la préfecture, observée de celle du Puy-de-Dôme. . c?' = 107 .234ï,59
Enfin , angle de leurs verticales C= o .0933,52
parce qu'à la latitude de Clermont le log. du rayon rde la Terre, ou plutôt de la normale N, est, d'après la Table IV, logN = 6.8o53366. Nous ferons cependant remarquer que la distance zénithale observée réellement de la préfecture, était de 9a^8478*,37; mais comme le centre du cercle, placé en O {Jig. 48 bis) y dans le plan vertical OAB, était de o"',47 = ni en arrière djB la verticale ZA de la mire a, placée à o"*,57 au-dessous de ce centre, cette distance zénithale a dû éprou-
ver deux réductions. Tune de — 3* ,55 à la verticale ZA^ et l'autre de — 38', 5 à la mire a. Or, il est assez évident que la première réduction s'obtient par la formule (i) deTart. 132, dans laquelle la distance de gauche G est infinie ; c'est-à-dire que
réduct. a la verticale = -f- — — ^ — 5 — ^ = — — ^, — - ;
D sifi I D 8111 1 '
et qu'à cause de r' — r = i o63™, la distance oblique D = -: — -z , du
moins à très-peu près. Quant à la réduction à la mire a , elle se calcule par la formule (5) de l'art. 215 et en prenant dh^sz—- o"",57. Ainsi , avec les données précédentes et la formule
démontrée à l'art. 49 , laquelle se change en celle<<;i :
cot
(^-C) = ^;^'+tangiC
à cause de B= A — G {Jig. Ifi) et de ft= r ou N; on a tout ce qu'il faut pour déterminer la distance zénithale vraie A correspondante à la station de la préfecture. Exposons donc ce calcul et la conséquence qui en dérive.
log [r' — r) = 3.oa65333
c. logN = 3.1946634
c. logsinG = a. 8337566
